El Sapo Sabio

 

Las masas A, B y C están enlazadas por cuerdas de masa despreciable. Entre las A y B y la mesa hay rozamiento cuyo coeficiente dinámico vale μ = 0,1.

a)  ¿Cuál ha de ser el valor de m_C para que el conjunto se mueva con velocidad constante? ¿Cuánto valdrá la tensión de las cuerdas?

b)  ¿Cuánto valdrá la aceleración de las masas y la tensión de las cuerdas si m_C = 2 kg?

Datos: m_A = 5 kg, m_C = 10 kg, g = 10 kg/s²

 

 

Solución:

Datos: μ = 0,1; m_A = 5 kg; m_C = 10 kg; g = 10 kg/s²

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la misma y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.    

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Como las masas A, B y C no están sujetas a ninguna fuerza útil:

T₁ = 0 y T₂ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T₃ = m_C g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

Las masas A y B se moverán hacia la derecha y la masa C bajará, ambas con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

a)  Como la velocidad ha de ser constante la aceleración es igual a cero.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Fuerzas normales:

N_A – m_A g = 0 → N_A = m_A g

Fuerzas tangenciales:

T₁ – F_r,A = m_A a → T₁ – F_r,A = 0

Fuerza de rozamiento:

F_r,A = μ N_A = μ m_A g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T₁ – μ m_A g = 0

Fuerzas normales:

N_B – m_B g = 0 → N_B = m_B g

Fuerzas tangenciales:

T₂ – T₁ – F_r,B = m_B a → T₂ – T₁ – F_r,B = 0

Fuerza de rozamiento:

F_r,B = μ N_B = μ m_B g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T₂ – T₁ – μ m_B g = 0

m_c g – T₂ = m_c a → m_c g – T₂ = 0

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T₁ – μ m_A g = 0 → T₁ = μ m_A g

T₂ – T₁ – μ m_B g = 0

m_C g – T₂ = 0 → T₂ = m_C g

Sustituyendo los valores de T₁ y T₂ en la segunda ecuación, tenemos que:

m_C g – μ m_A g – μ m_B g = 0

m_C g = μ m_A g + μ m_B g

m_C = μ m_A + μ m_B

m_C = μ (m_A + m_B)

m_C = 0,1·(5 kg + 10 kg) = 1,5 kg

Tensión de las cuerdas:

T₁ = 0,1·5 kg·10 (m/s²) = 5 N

T₂ = 1,5 kg·10 (m/s²) = 15 N

b)  Dato: m_C = 2 kg

Del apartado anterior tenemos que:

T₁ – μ m_A g = m_A a → T₁ = μ m_A g + m_A a

T₂ – T₁ – μ m_B g = m_B a

m_C g – T₂ = m_C a → T₂ = m_C g – m_C a

Sustituyendo los valores de T₁ y T₂ en la segunda ecuación, tenemos que:

m_C g – m_C a – μ m_A g – m_A a – μ m_B g = m_B a

m_C g – μ m_A g – μ m_B g = m_B a + m_C a + m_A a

(m_C – μ m_A – μ m_B) g = (m_B + m_C + m_A) a

a = [(m_C – μ m_A – μ m_B) g]/(m_B + m_C + m_A)

a = [(2 kg – 0,1·5 kg – 0,1·10 kg)·10 (m/s²)]/(10 kg + 2 kg + 5 kg)

a = 0,29 m/s²

T₁ = (μ g + a) m_A = [0,1·(10 m/s²) + (0,29 m/s²)]·5 kg = 6,45 N

T₂ = m_C (g – a) = 2 kg·[(10 m/s²) – (0,29 m/s²)] = 19,42 N

Si el resultado de la aceleración hubiera sido negativo, significaría que el rozamiento de las masas A y B impiden el movimiento.