Plano horizontal y polea 05

 

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda, si m1 = 30 kg, m2 = 5 kg y μ = 0,1. Repite los cálculos tomando μ = 0,2.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 30 kg, m2 = 5 kg

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la polea y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,1

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T1 = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T2 = P2 = m2 g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 05, 1

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – P1 = 0 N = m1 g

Fuerzas tangenciales:

T – Fr = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m1 g = m1 a

Bloque 2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P2 = m2 a –T + m2 g = m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = μ m1 g + m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

μ m1 g + m1 a = m2 g – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – μ m1 g

(m1 + m2) a = (m2 – μ m1) g

a = (m2 – μ m1) g/(m1 + m2)

T = m2 g – m2 [(m2μ m1) g/(m1 + m2)]

T = m2 g {1 – [(m2μ m1)/(m1 + m2)]}

T = m2 g {[(m1 + m2) – (m2μ m1)]/(m1 + m2)}

T = [m2 g (m1 + m2 – m2 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m2 g (m1 + μ m1)]/(m1 + m2)

T = [m1 m2 g (1+ μ)]/(m1 + m2)

Si μ = 0,1:

a = (5 kg – 0,1·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = 0,56 m/s2

T = [30 kg·5 kg·(9,8 m/s2)·(1 + 0,1)]/(30 kg + 5 kg)

T = 46,2 N

Si μ = 0,2:

a = (5 kg – 0,2·30 kg)·(9,8 m/s2)/(30 kg + 5 kg)

a = – 0,28 m/s2

El signo negativo indica que el sistema se traslada hacia la izquierda, es decir, que el bloque que cuelga de la polea sube, cosa que es imposible porque no hay ninguna fuerza que tire hacia la izquierda, por tanto el sistema está parado.

Lo que ocurre es que P2 no es suficientemente grande para vencer el rozamiento que existe entre P1 y el plano.

En este caso:

T = 5 kg·(9,8 m/s2) = 49 N

Mientras que:

Fr = 0,2·30 kg·(9,8 m/s2) = 58,8 N

 

 

 

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