El Sapo Sabio

 

Sobre una plataforma horizontal se tiene un cuerpo de 100 kg, que se encuentra unido a otro de 300 kg, estando este último suspendido por medio de una cuerda, inextensible y sin peso, que desliza por la garganta de una polea colocada al borde de la plataforma horizontal. Calcula:

a)  La aceleración del sistema.

b)  La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano para que la aceleración se reduzca a la mitad.

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 100 kg; m₂ = 300 kg

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T₁ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T₂ = P₂ = m₂ g

luego, al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

a)  Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – P₁ = 0 → N = m₁ g

Fuerzas tangenciales:

T = m₁ a

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P₂ = m₂ a → –T + m₂ g = m₂ a

De todo lo anterior tenemos que:

–m₁ a + m₂ g = m₂ a

m₁ a + m₂ a = m₂ g

(m₁ + m₂) a = m₂ g

a = m₂ g/(m₁ + m₂)

a = 300 kg·(9,8 m/s²)/(100 + 300 kg) = 7,35 m/s²

b)  Si al primer cuerpo le añadimos una masa m para que la aceleración se reduzca a la mitad, las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior quedan de la siguiente forma:

T = (m₁ + m) a/2

–T + m₂ g = m₂ a/2

luego:

–[(m₁ + m) a/2] + m₂ g = m₂ a/2

–[(m₁ + m) a] + 2 m₂ g = m₂ a

–m₁ a – m a + 2 m₂ g = m₂ a

m a = –m₁ a + 2 m₂ g – m₂ a

m = (–m₁ a + 2 m₂ g – m₂ a)/a

m = [–100 kg·(7,35 m/s²) + 2·300 kg·(9,8 m/s²) – 300 kg·(7,35 m/s²)]/(7,35 m/s²)

m = 400 kg

La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano es 400 kg