Tensión en una cuerda 07

 

TENSION CUERDA 07,1

La fuerza F hace ascender verticalmente al sistema mostrado en la figura. Sabiendo que la cuerda que une los bloques tiene una masa m3, calcula la aceleración del sistema y las tensiones en los extremos de la cuerda.

 

 

Solución:

Fuerzas que intervienen:

TENSION CUERDA 07,2

Cuando la cuerda tiene masa las tensiones en sus extremos son forzosamente distintas. Se puede observar en el diagrama que si las tensiones T3,1 y T3,2 fueran iguales resultaría que la cuerda tiene fuerza hacia abajo (su peso) y aceleración hacia arriba.

Ecuaciones de la Dinámica para los bloques y la cuerda:

F – m1 g – T1,3 = m1 a

T3,1 – m3 g – T3,2 = m3 a

T2,3 – m2 g = m2 a

Como las tensiones T1,3 y T3,1 tienen el mismo módulo (acción y reacción) se puede hacer:

T1,3 = T3,1 = T

Lo mismo ocurre con T2,3 y T3,2 luego:

T2,3 = T3,2 = T’

Los bloques y la cuerda van unidos luego tienen la misma aceleración.

F – m1 g – T = m1 a

T – m3 g – T’ = m3 a

T’ – m2 g = m2 a → T’ = m2 g + m2 a = m2 (g + a)

Sustituyendo T’ en la segunda de las ecuaciones anteriores, tenemos que: 

T – m3 g – m2 (g + a) = m3 a

T = m3 g + m2 (g + a) + m3 a

T = m2 (g + a) + m3 (a + g) = (g + a)·(m2 + m3)

Sustituyendo T en la ecuación en donde aparece F, tenemos que: 

F – m1 g – (g + a)·(m2 + m3) = m1 a

(g + a)·(m2 + m3) + m1 a = F – m1 g

g m2 + g m3 + a m2 + a m3 + m1 a = F – m1 g

a m2 + a m3 + m1 a = F – m1 g – g m2 – g m3

a (m2 + m3 + m1)  = F – g (m1 + m2 + m3)

a = [F – g (m1 + m2 + m3)]/(m1 + m2 + m3)

Tensiones:

TENSION CUERDA 07,3

Se puede ver que si la masa de la cuerda fuera igual a cero, las tensiones en ambos extremos serían iguales.

 

 

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