Tensión en una cuerda 07
La fuerza F hace ascender verticalmente al sistema mostrado en la figura. Sabiendo que la cuerda que une los bloques tiene una masa m3, calcula la aceleración del sistema y las tensiones en los extremos de la cuerda.
Solución:
Fuerzas que intervienen:
Cuando la cuerda tiene masa las tensiones en sus extremos son forzosamente distintas. Se puede observar en el diagrama que si las tensiones T3,1 y T3,2 fueran iguales resultaría que la cuerda tiene fuerza hacia abajo (su peso) y aceleración hacia arriba.
Ecuaciones de la Dinámica para los bloques y la cuerda:
F – m1 g – T1,3 = m1 a
T3,1 – m3 g – T3,2 = m3 a
T2,3 – m2 g = m2 a
Como las tensiones T1,3 y T3,1 tienen el mismo módulo (acción y reacción) se puede hacer:
T1,3 = T3,1 = T
Lo mismo ocurre con T2,3 y T3,2 luego:
T2,3 = T3,2 = T’
Los bloques y la cuerda van unidos luego tienen la misma aceleración.
F – m1 g – T = m1 a
T – m3 g – T’ = m3 a
T’ – m2 g = m2 a → T’ = m2 g + m2 a = m2 (g + a)
Sustituyendo T’ en la segunda de las ecuaciones anteriores, tenemos que:
T – m3 g – m2 (g + a) = m3 a
T = m3 g + m2 (g + a) + m3 a
T = m2 (g + a) + m3 (a + g) = (g + a)·(m2 + m3)
Sustituyendo T en la ecuación en donde aparece F, tenemos que:
F – m1 g – (g + a)·(m2 + m3) = m1 a
(g + a)·(m2 + m3) + m1 a = F – m1 g
g m2 + g m3 + a m2 + a m3 + m1 a = F – m1 g
a m2 + a m3 + m1 a = F – m1 g – g m2 – g m3
a (m2 + m3 + m1) = F – g (m1 + m2 + m3)
a = [F – g (m1 + m2 + m3)]/(m1 + m2 + m3)
Tensiones:
Se puede ver que si la masa de la cuerda fuera igual a cero, las tensiones en ambos extremos serían iguales.