El Sapo Sabio

 

La fuerza F hace ascender verticalmente al sistema mostrado en la figura. Sabiendo que la cuerda que une los bloques tiene una masa m₃, calcula la aceleración del sistema y las tensiones en los extremos de la cuerda.

 

 

Solución:

Fuerzas que intervienen:

Cuando la cuerda tiene masa las tensiones en sus extremos son forzosamente distintas. Se puede observar en el diagrama que si las tensiones T_3,1 y T_3,2 fueran iguales resultaría que la cuerda tiene fuerza hacia abajo (su peso) y aceleración hacia arriba.

Ecuaciones de la Dinámica para los bloques y la cuerda:

F – m₁ g – T_1,3 = m₁ a

T_3,1 – m₃ g – T_3,2 = m₃ a

T_2,3 – m₂ g = m₂ a

Como las tensiones T_1,3 y T_3,1 tienen el mismo módulo (acción y reacción) se puede hacer:

T_1,3 = T_3,1 = T

Lo mismo ocurre con T_2,3 y T_3,2 luego:

T_2,3 = T_3,2 = T’

Los bloques y la cuerda van unidos luego tienen la misma aceleración.

F – m₁ g – T = m₁ a

T – m₃ g – T’ = m₃ a

T’ – m₂ g = m₂ a → T’ = m₂ g + m₂ a = m₂ (g + a)

Sustituyendo T’ en la segunda de las ecuaciones anteriores, tenemos que: 

T – m₃ g – m₂ (g + a) = m₃ a

T = m₃ g + m₂ (g + a) + m₃ a

T = m₂ (g + a) + m₃ (a + g) = (g + a)·(m₂ + m₃)

Sustituyendo T en la ecuación en donde aparece F, tenemos que: 

F – m₁ g – (g + a)·(m₂ + m₃) = m₁ a

(g + a)·(m₂ + m₃) + m₁ a = F – m₁ g

g m₂ + g m₃ + a m₂ + a m₃ + m₁ a = F – m₁ g

a m₂ + a m₃ + m₁ a = F – m₁ g – g m₂ – g m₃

a (m₂ + m₃ + m₁)  = F – g (m₁ + m₂ + m₃)

a = [F – g (m₁ + m₂ + m₃)]/(m₁ + m₂ + m₃)

Tensiones:

Se puede ver que si la masa de la cuerda fuera igual a cero, las tensiones en ambos extremos serían iguales.