Ascensor y poleas 11
Dos pesas, una de 7 kg y otra 8 kg, suspendidas verticalmente, están unidas por una cuerda ligera e inextensible que pasa por una polea fija y de garganta lisa. Si se deja la polea en libertad, y suponiendo que inicialmente las pesas estaban a la misma altura:
a) ¿A qué distancia vertical se encontrarán una de la otra al cabo de 3 segundos?
b) ¿Cuál será la tensión de la cuerda?
Solución:
Datos: m1 = 7 kg; m2 = 8 kg; g = 9,8 m/s2
a) Dato: t = 3 s
Para resolver este apartado necesitamos saber el espacio que ha recorrido cada una de las pesas, para lo cual aplicaremos las ecuaciones del movimiento según Cinemática:
v = a t y = (1/2) a t2
Se supone que, inicialmente, ambas pesas están quietas y se debe tener en cuenta que la aceleración es la misma para ambas. Por lo tanto, primero estudiaremos el sentido del movimiento.
Sistema en reposo:
T1 = P1 = m1 g T2 = P2 = m2 g
Como m2 es mayor que m1, T2 > T1, luego al dejar el sistema en libertad la polea girará en sentido al de las agujas del reloj.
La pesa 2 bajará y la pesa 1 subirá, ambos con la misma aceleración (módulo).
Fuerzas que actúan sobre la pesa 1:
T – m1 g = m1 a
Fuerzas que actúan sobre la pesa 2:
m2 g – T = m2 a
Ahora despejaremos T de la ecuación hallada en la pesa 1 y sustituiremos en la ecuación de la pesa 2.
T = m1 g + m1 a → m2 g – m1 g – m1 a = m2 a
m2 g – m1 g = m1 a + m2 a
(m1 + m2) a = (m2 – m1) g
a = (m2 – m1) g/(m1 + m2)
a = [(8 – 7) kg·(9,8 m/s2)]/(8 + 7) kg = 0,65 m/s2
Espacio recorrido hacia arriba por la pesa 1:
y1 = (1/2)·(0,65 m/s2)·(3 s)2 = 2,9 m
Espacio recorrido hacia abajo por la pesa 2 será el mismo que el de la pesa 1 pero en sentido contrario, luego la distancia total que habrá entre ellas será:
d = y1 + y2 = 2,9 m + 2,9 m = 5,8 m
b) Utilizando cualquiera de las dos ecuaciones en donde aparece la tensión, tenemos:
T = m1 (g + a) = 7 kg·(9,8 + 0,65) m/s2 = 73,2 N