El Sapo Sabio

Calcula la aceleración  de los bloques y la tensión de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y la superficie vale: μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

T₁ = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T₃ = 2 T₂                T₂ = m₂ g

Como la polea fija únicamente está sometida a la fuerza T₁, al dejar el sistema en libertad ésta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará. Las aceleraciones serán diferentes, porque no están unidos directamente por una cuerda.

N = m₁ g

T₁ – F_r = m₁ a₁

T₁ – μ N = m₁ a₁ → T₁ – μ m₁ g = m₁ a₁

2T₂ – T₁ = 0·a₁ → T₂ = (1/2) T₁

La polea móvil no tiene masa (T₁ = T₃)

m₂ g – T₂ = m₂ a₂

La polea móvil y el bloque 1 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 2.

Relación entre las aceleraciones:

Si el bloque 1 recorre una distancia L, la polea móvil bajará la misma distancia.

Si la polea móvil baja una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 2 bajará una distancia 2L, luego:

L₂ = 2L₁

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v₂ = 2v₁                 a₂ = 2a₁

(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 2 es el doble de la del cuerpo 1 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)

Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:

T₁ – μ m₁ g = m₁ a₁

T₂ = (1/2) T₁

m₂ g – T₂ = m₂ a₂

a₂ = 2a₁

De donde obtenemos que:

T₁ = μ m₁ g + m₁ a₁

m₂ g – (1/2) T₁ = m₂ 2a₁

Sustituyendo el valor de T₁ en la segunda de las anteriores ecuaciones, tenemos que:

m₂ g – (1/2) (μ m₁ g + m₁ a₁) = 2m₂ a₁

2m₂ g – μ m₁ g – m₁ a₁ = 4m₂ a₁

2m₂ g – μ m₁ g = m₁ a₁ + 4m₂ a₁

(2m₂ – μ m₁) g = (m₁ + 4m₂) a₁

a₁ = (2m₂ – μ m₁) g/(m₁ + 4m₂)

a₁ = (2m – μ m) g/(m + 4m)

a₁ = (2 – μ) m g/5m

a₁ = (2 – μ) g/5

a₂ = 2·(2 – μ) g/5 = (2/5)·(2 – μ) g

T₁ = μ m g + m [(2 – μ) g/5]

T₁ = m g {μ + [(2 – μ)/5]}

T₁ = m g [(5μ + 2 – μ)/5]

T₁ = m g [(4μ + 2)/5]

T₁ = 2m g [(2μ + 1)/5]

T₂ = (1/2) 2m g [(2μ + 1)/5]

T₂ = m g [(2μ + 1)/5]