Ascensor y poleas 10

ASCENSOR Y POLEA, 10,1

Calcula la aceleración  de los bloques y la tensión de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y la superficie vale: μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

ASCENSOR Y POLEA, 10,2

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T3 = 2 T2                T2 = m2 g

Como la polea fija únicamente está sometida a la fuerza T1, al dejar el sistema en libertad ésta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará. Las aceleraciones serán diferentes, porque no están unidos directamente por una cuerda.

ASCENSOR Y POLEA, 10,3

N = m1 g

T1 – Fr = m1 a1

T1μ N = m1 a1 T1μ m1 g = m1 a1

ASCENSOR Y POLEA, 10,4

2T2 – T1 = 0·a1 T2 = (1/2) T1

La polea móvil no tiene masa (T1 = T3)

ASCENSOR Y POLEA, 10,5

m2 g – T2 = m2 a2

La polea móvil y el bloque 1 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 2.

Relación entre las aceleraciones:

ASCENSOR Y POLEA, 10,6

Si el bloque 1 recorre una distancia L, la polea móvil bajará la misma distancia.

Si la polea móvil baja una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 2 bajará una distancia 2L, luego:

L2 = 2L1

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v2 = 2v1                 a2 = 2a1

(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 2 es el doble de la del cuerpo 1 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)

Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:

T1μ m1 g = m1 a1

T2 = (1/2) T1

m2 g – T2 = m2 a2

a2 = 2a1

De donde obtenemos que:

T1 = μ m1 g + m1 a1

m2 g – (1/2) T1 = m2 2a1

Sustituyendo el valor de T1 en la segunda de las anteriores ecuaciones, tenemos que:

m2 g – (1/2) (μ m1 g + m1 a1) = 2m2 a1

2m2 g – μ m1 g – m1 a1 = 4m2 a1

2m2 g – μ m1 g = m1 a1 + 4m2 a1

(2m2μ m1) g = (m1 + 4m2) a1

a1 = (2m2μ m1) g/(m1 + 4m2)

a1 = (2m – μ m) g/(m + 4m)

a1 = (2 – μ) m g/5m

a1 = (2 – μ) g/5

a2 = 2·(2 – μ) g/5 = (2/5)·(2 – μ) g

T1 = μ m g + m [(2 – μ) g/5]

T1 = m g {μ + [(2 – μ)/5]}

T1 = m g [(5μ + 2 – μ)/5]

T1 = m g [(4μ + 2)/5]

T1 = 2m g [(2μ + 1)/5]

T2 = (1/2) 2m g [(2μ + 1)/5]

T2 = m g [(2μ + 1)/5]

 

 

 

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