Ascensor y poleas 10
Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y la superficie vale: μ.
Solución:
Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.
Sentido del movimiento.
Sistema en reposo:
T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)
T3 = 2 T2 T2 = m2 g
Como la polea fija únicamente está sometida a la fuerza T1, al dejar el sistema en libertad ésta girará en el sentido de las agujas del reloj.
El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará. Las aceleraciones serán diferentes, porque no están unidos directamente por una cuerda.
N = m1 g
T1 – Fr = m1 a1
T1 – μ N = m1 a1 → T1 – μ m1 g = m1 a1
2T2 – T1 = 0·a1 → T2 = (1/2) T1
La polea móvil no tiene masa (T1 = T3)
m2 g – T2 = m2 a2
La polea móvil y el bloque 1 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 2.
Relación entre las aceleraciones:
Si el bloque 1 recorre una distancia L, la polea móvil bajará la misma distancia.
Si la polea móvil baja una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 2 bajará una distancia 2L, luego:
L2 = 2L1
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
v2 = 2v1 a2 = 2a1
(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 2 es el doble de la del cuerpo 1 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)
Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:
T1 – μ m1 g = m1 a1
T2 = (1/2) T1
m2 g – T2 = m2 a2
a2 = 2a1
De donde obtenemos que:
T1 = μ m1 g + m1 a1
m2 g – (1/2) T1 = m2 2a1
Sustituyendo el valor de T1 en la segunda de las anteriores ecuaciones, tenemos que:
m2 g – (1/2) (μ m1 g + m1 a1) = 2m2 a1
2m2 g – μ m1 g – m1 a1 = 4m2 a1
2m2 g – μ m1 g = m1 a1 + 4m2 a1
(2m2 – μ m1) g = (m1 + 4m2) a1
a1 = (2m2 – μ m1) g/(m1 + 4m2)
a1 = (2m – μ m) g/(m + 4m)
a1 = (2 – μ) m g/5m
a1 = (2 – μ) g/5
a2 = 2·(2 – μ) g/5 = (2/5)·(2 – μ) g
T1 = μ m g + m [(2 – μ) g/5]
T1 = m g {μ + [(2 – μ)/5]}
T1 = m g [(5μ + 2 – μ)/5]
T1 = m g [(4μ + 2)/5]
T1 = 2m g [(2μ + 1)/5]
T2 = (1/2) 2m g [(2μ + 1)/5]
T2 = m g [(2μ + 1)/5]