El Sapo Sabio

 

Calcula la aceleración de los bloques y las tensiones de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Datos: m₁ = 4 kg, m₂ = 6 kg

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 4 kg, m₂ = 6 kg

Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

Según la figura:

T₁ = m₁ g          2T₃ = T₂ → T₃ = (1/2) T₂              T₂ = m₂ g     

Como T₁ > T₃, ya que m₁ > (1/2) m₂, al dejar el sistema en libertad la polea fija girará en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El bloque 1 bajará y el bloque 2 subirá, siendo sus aceleraciones diferentes porque no están unidos directamente por una cuerda.

m₁ g – T₁ = m₁ a₁

2T₁ – T₂ = 0·a₂ → T₁ = (1/2) T₂

La polea móvil no tiene masa (T₁ = T₃)

T₂ – m₂ g = m₂ a₂

La polea móvil y el bloque 2 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 1.

Relación entre las aceleraciones:

Si el bloque 2 sube una distancia L, la polea móvil subirá la misma distancia.

Si la polea móvil sube una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 1 bajará una distancia 2L.

En general: si el bloque unido a la polea móvil recorre un espacio L₂ el otro bloque recorrerá un espacio doble.

L₁ = 2L₂

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v₁ = 2v₂                 a₁ = 2a₂

(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 1 es el doble de la del cuerpo 2 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)

Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:

m₁ g – T₁ = m₁ a₁

T₁ = (1/2) T₂

T₂ – m₂ g = m₂ a₂

a₁ = 2a₂

De donde obtenemos que:

m₁ g – (1/2) T₂ = m₁ 2a₂

T₂ = m₂ g + m₂ a₂

Sustituyendo el valor de T₂ en la primera de las anteriores ecuaciones, tenemos que:

m₁ g – (1/2) (m₂ g + m₂ a₂) = m₁ 2a₂

2m₁ g – m₂ g – m₂ a₂ = 4m₁ a₂

2m₁ g – m₂ g = m₂ a₂ + 4m₁ a₂

(2m₁ – m₂) g = (m₂ + 4m₁) a₂

a₂ = (2m₁ – m₂) g/(m₂ + 4m₁)

a₁ = 2(2m₁ – m₂) g/(m₂ + 4m₁)

T₂ = m₂ g + m₂ [(2m₁ – m₂) g/(m₂ + 4m₁)]

T₂ = m₂ g {1 + [(2m₁ – m₂)/(m₂ + 4m₁)]}

T₂ = m₂ g [(m₂ + 4m₁ + 2m₁ – m₂)/(m₂ + 4m₁)]

T₂ = m₂ g [6m₁/(m₂ + 4m₁)]

T₂ = 6m₁ m₂ g/(m₂ + 4m₁)

T₁ = (1/2) [6m₁ m₂ g/(m₂ + 4m₁)]

T₁ = 3m₁ m₂ g/(m₂ + 4m₁)

a₁ = 2·(2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s²)/(6 kg + 4·4 kg)

a₁ = 4 kg·(9,8 m/s²)/22 kg = 1,78 m/s²

a₂ = (2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s²)/(6 kg + 4·4 kg)

a₂ = 2 kg·(9,8 m/s²)/22 kg = 0,89 m/s²

T₁ = 3·4 kg·6 kg·(9,8 m/s²)/(6 kg + 4·4 kg)

T₁ = 72 kg·(9,8 m/s²)/22 kg = 32 N

T₂ = 6·4 kg·6 kg·(9,8 m/s²)/(6 kg + 4·4 kg)

T₂ = 144 kg·(9,8 m/s²)/22 kg = 64 N

Es interesante observar que mediante la polea móvil, un bloque de 4 kg consigue subir otro de 6 kg.