Ascensor y poleas 09
Calcula la aceleración de los bloques y las tensiones de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Datos: m1 = 4 kg, m2 = 6 kg
Solución:
Datos: m1 = 4 kg, m2 = 6 kg
Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.
Sentido del movimiento.
Sistema en reposo:
Según la figura:
T1 = m1 g 2T3 = T2 → T3 = (1/2) T2 T2 = m2 g
Como T1 > T3, ya que m1 > (1/2) m2, al dejar el sistema en libertad la polea fija girará en sentido contrario al de las agujas del reloj.
El bloque 1 bajará y el bloque 2 subirá, siendo sus aceleraciones diferentes porque no están unidos directamente por una cuerda.
m1 g – T1 = m1 a1
2T1 – T2 = 0·a2 → T1 = (1/2) T2
La polea móvil no tiene masa (T1 = T3)
T2 – m2 g = m2 a2
La polea móvil y el bloque 2 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 1.
Relación entre las aceleraciones:
Si el bloque 2 sube una distancia L, la polea móvil subirá la misma distancia.
Si la polea móvil sube una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 1 bajará una distancia 2L.
En general: si el bloque unido a la polea móvil recorre un espacio L2 el otro bloque recorrerá un espacio doble.
L1 = 2L2
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
v1 = 2v2 a1 = 2a2
(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 1 es el doble de la del cuerpo 2 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)
Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:
m1 g – T1 = m1 a1
T1 = (1/2) T2
T2 – m2 g = m2 a2
a1 = 2a2
De donde obtenemos que:
m1 g – (1/2) T2 = m1 2a2
T2 = m2 g + m2 a2
Sustituyendo el valor de T2 en la primera de las anteriores ecuaciones, tenemos que:
m1 g – (1/2) (m2 g + m2 a2) = m1 2a2
2m1 g – m2 g – m2 a2 = 4m1 a2
2m1 g – m2 g = m2 a2 + 4m1 a2
(2m1 – m2) g = (m2 + 4m1) a2
a2 = (2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)
a1 = 2(2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)
T2 = m2 g + m2 [(2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)]
T2 = m2 g {1 + [(2m1 – m2)/(m2 + 4m1)]}
T2 = m2 g [(m2 + 4m1 + 2m1 – m2)/(m2 + 4m1)]
T2 = m2 g [6m1/(m2 + 4m1)]
T2 = 6m1 m2 g/(m2 + 4m1)
T1 = (1/2) [6m1 m2 g/(m2 + 4m1)]
T1 = 3m1 m2 g/(m2 + 4m1)
a1 = 2·(2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)
a1 = 4 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 1,78 m/s2
a2 = (2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)
a2 = 2 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 0,89 m/s2
T1 = 3·4 kg·6 kg·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)
T1 = 72 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 32 N
T2 = 6·4 kg·6 kg·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)
T2 = 144 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 64 N
Es interesante observar que mediante la polea móvil, un bloque de 4 kg consigue subir otro de 6 kg.