Archivo de junio de 2019

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 16 (1ª parte)

 

El plano inclinado de la figura tiene ángulo de 10º y 1 m de longitud. Partiendo del reposo se arrastra hacia abajo el bloque de 2 kg mediante una fuerza horizontal de 2 Kp. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. Determina la velocidad con que llegará el bloque al final del plano.

Realiza el cálculo por Dinámica–Cinemática y Conservación de la energía.

 

 

Solución:

Datos: α = 10º; L = 1 m; v0 = 0; m = 2 kg; F = 2 kp = 19,6 N; μ = 0,2

Según Cinemática.

Según Dinámica.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas 1:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Descomposición de fuerzas 2:

Las líneas del mismo color son paralelas por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Fuerzas  normales:

N + F sen α – m g cos α = 0 N = m g cos α – F sen α

Fuerzas tangenciales:

F cos α + m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ (m g cos α – F sen α)

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F cos α + m g sen αμ (m g cos α – F sen α) = m a

F cos α + m g sen αμ m g cos α + μ F sen α = m a

F (cos α + μ sen α) + m g (sen αμ cos α) = m a

a = [F (cos α + μ sen α) + m g (sen αμ cos α)]/m

Sustituyendo en la ecuación obtenida en Cinemática:

Mediante la ecuación de dimensiones podemos saber si la expresión hallada es correcta.

Por tanto:

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 15

 

Desde el punto más bajo de un plano inclinado 30º se lanza hacia arriba un bloque a 5 m/s. Siendo el coeficiente de rozamiento entre bloque y superficie 0,2 determina cuánto recorrerá el bloque hasta detenerse.

Una vez detenido, ¿deslizará hacia abajo? En caso afirmativo, calcula la velocidad con que llegará al punto de partida ¿Tarda lo mismo en subir que en bajar?

 

 

Solución:

Datos: α = 30º; v0 = 5 m/s; μ = 0,2

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

ΣW = WP + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wp) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

WN = N L cos 90º = 0

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = μ N L cos 180º = –μ P L cos  α = –μ m g L cos α

Los ángulos a son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cambio de energía cinética:

ΔEc = Ec (2) – Ec (1) = 0 – (1/2) m v02 = –(1/2) m v02

Cambio de energía potencial:

ΔEp = Ep (2) – Ep (1) = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = m g L sen α

–μ m g L cos α = –(1/2) m v02 + m g L sen α

(1/2) m v02 = m g L sen α + μ m g L cos α

(1/2) v02 = g L sen α + μ g L cos α

(1/2) v02 = g L (sen α + μ cos α)

v02 = 2 g L (sen α + μ cos α)

L = v02/2 g (sen α + μ cos α)

Supongamos que el cuerpo desliza hacia abajo.

Según Dinámica:

Fuerzas que actúan sobre el cuerpo y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N – P cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

P sen α – Fr = m a m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

g sen αμ g cos α = a

 a = g (sen αμ cos α)

a = (9,8 m/s2)·(sen 30º 0,2·cos 30º) = 3,2 m/s2

Este resultado confirma la hipótesis de que el bloque desliza hacia abajo.

Para hallar la velocidad con que llegará al punto de partida podemos utilizar las expresiones de Cinemática.

Ecuaciones del movimiento:

v = a t                   L = (1/2) a t2

t = v/a → L = (1/2) a (v/a)2 = v2/2 a

v2 = 2 L a

Continuando con Cinemática, tiempo que tarda en subir:

0 = v0 + a1 t1          L = v0 t1 + (1/2) a1 t12

a1 = –v0/t1   L = v0 t1 + (1/2)·(–v0/t1)·t12

L = v0 t1 – (1/2)·v0 t1 = (1/2)·v0 t1

t1 = 2 L/v0 = 2·1,9 m/(5m/s) = 0,76 s

Tiempo que tarda en bajar:

t2 = v/a = (3,5 m/s)/(3,2 m/s2) = 1,09 s

El bloque no tarda el mismo tiempo en subir que en bajar.

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 14

 

Desde el punto más alto de una rampa de 300 de inclinación se deja deslizar un bloque. Siendo μ = 0,1; calcula la velocidad del bloque cuando haya recorrido 4 m.

 

 

Solución:

Datos: α = 30º; v0 = 0; μ = 0,1; L = 4 m

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

 

Calculo del trabajo.

ΣW = Wmg + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Wr = –µ m g L cos α

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cambio de energía.

Estado inicial:

Vin = 0

La altura inicial, hin, es indeterminada pues no se conoce la posición del suelo,  aunque en realidad no importa porque lo que cuenta es el cambio de altura.

Estado final:

Vfin = v

Como en el caso anterior, la altura final, hfin, es indeterminada pues no se conoce la posición del suelo,  pero ya se ha dicho que en realidad no importa porque lo que cuenta es el cambio de altura.

ΔEc = (1/2) mv2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = m g hfin – m g hin = m g (hfin – hin)

Los ángulos indicados en la figura anterior son iguales por tener sus lados paralelos.

hin = d + hfin

–d = hfin – hin

sen α = d/L d = L sen α

ΔEp =  –m g L sen α

Haciendo las debidas sustituciones en el principio de conservación:

–µ m g L cos α = (1/2) m v2 – m g L sen α

–2 µ g L cos α = v2 – 2 g L sen α

v2 = 2 g L sen α – 2 µ g L cos α

 

 

 

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