Archivo de mayo de 2019

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 05

 

Un cuerpo de 5 kg de masa se encuentra situado sobre un plano inclinado 30º, a una altura de 3 m. Debido a la acción de su peso, comienza a deslizar, llegando al final de la rampa con una velocidad de 6,9 m/s. Aplicando el principio de conservación de la energía:

a)  ¿Qué trabajo que realiza la fuerza de rozamiento?

b)  ¿Cuánto vale dicha fuerza?

 

 

Solución:

Datos: m = 5 kg; α = 30º; h = 3 m; v0 = 0; v = 6,9 m/s

a)  El bloque baja por la rampa y llega al final con velocidad v1

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) y a la normal de la superficie (N).

SW = Wmg + Wr + WN

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por lo tanto:

SW = Wr

Cambios de energía.

Estado inicial:

v0 = 0          h0 = h

Estado final:

v1 = v          h1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

Wr = (1/2) m v2 – m g h = [(1/2) v2 – g h] m

Wr = [(1/2)·(6,9 m/s)2 – (9,8 m/s2)·3 m]·5 kg = –28 J

El signo negativo es debido a que el trabajo está efectuado por una fuerza que se opone al desplazamiento.

b)  Trabajo realizado por el rozamiento:  

Wr = Fr L

sen α = h/L → L = h/sen α

Wr = Fr h/sen α

Fr = Wr sen α/h

Fr = –28 J·sen 30º/3 m = –4,7 N 

El signo negativo nos indica que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento.

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 04

 

Calcula la fuerza que habrá que ejercer para elevar un objeto de 20 kg de masa hasta una altura de 9 m, con la ayuda de un plano inclinado de 14 m de longitud.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; h0 = 0; m = 20 kg; h1 = 10 m; L = 14 m

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante la subida el bloque está sometido a su peso (m g), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza que se ejerce sobre él (F).

ΣW = Wmg + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0 = F L

Por lo tanto:

ΣW = F L

Cambios de energía.

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad cero.

Esta inicial:

v0 = 0          h0 = 0

Estado final:

v1 = 0          h1 = h

ΔEc = 0 – 0 = 0

ΔEp = m g h – 0 = m g h

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

F L = 0 + m g h = m g h

 F = m g h/L

F = 20 kg·(9,8 m/s2)·10 m/14 m = 140 N

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano horizontal y polea 03

 

Calcula la velocidad adquirida por los bloques cuando el bloque 1 se desplace una distancia d, partiendo del reposo. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie vale μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de la polea se sobreentiende que su masa es despreciable. En este caso no se tiene en cuenta la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T3 = 2 T2                T2 = m g

Como la polea fija solo está sometida a la fuerza T3, al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido al de las agujas del reloj.

Si el bloque 1 se desplaza un espacio d con una velocidad v1, la polea móvil descenderá la misma distancia y entonces tendrá que disminuir en d la longitud de la cuerda en cada lado de la misma. Por tanto el bloque 2 desciende un espacio 2d, es decir: d2 = 2d.

Derivando con respecto al tiempo:

v2 = 2v1        y        a2 = 2a1

El espacio, la velocidad y la aceleración del bloque unido a la polea móvil son el doble de las del bloque unido a la cuerda que pasa por dicha polea.

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Bloque 1:

ΣW = Wmg + WN + WT1 + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la tensión (WT1):

WT1 = T1 d cos 0º = T1 d

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

Wr = Fr d cos 180º = –µ N d = –µ m g d

Bloque 2:

ΣW = Wmg + WT2

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

Trabajo realizado por la tensión (WT2):

WT = T2 2 d cos 180º = –2 T2 d

Trabajo total:

ΣW = T1 d – µ m g d – 2 T2 d

Sistema en movimiento:

2 T2 – T1 = 0·a (La polea móvil no tiene masa)

T1 = 2 T2

La tensión de la cuerda unida a la polea móvil es el doble de la tensión de la cuerda que pasa por dicha polea. Por tanto:

ΣW = 2 T2 d – µ m g d – 2 T2 d = –µ m g d

Cálculo de las energías.

Estado inicial:

v1,0 = 0         v2,0 = 0

Estado final:

v1 = v          v2 = 2 v       

Se desconocen las alturas iniciales y finales.

ΔEc = [Ec1 (final) – Ec1 (inicial)] + [Ec2 (final) – Ec2 (inicial)]

ΔEc = [(1/2) m v2 – 0] + [(1/2) m (2 v)2 – 0]

ΔEc = (1/2) m v2 + (1/2) m·4 v2 = (5/2) m v2

ΔEp = [Ep1 (final) – Ep1 (inicial)] + [Ep2 (final) – Ep2 (inicial)]

ΔEp = 0 + m g (h2 – h2,0) = m g (–2 d) = –2 d m g 

De todo lo anterior se tiene que:

–µ m g d = (5/2) m v2 – 2 d m g 

–µ g d = (5/2) v2 – 2 d g 

(5/2) v2 = 2 d g – µ g d

(5/2) v2 = g d (2 – µ)

 v2 = (2/5) g d (2 – µ)

 

 

 

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