Archivo de mayo de 2019

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 08

 

Se hace subir un cuerpo por una rampa de ángulo a aplicándoles una fuerza igual a su peso y paralela a la rampa. Siendo µ el coeficiente de rozamiento entre bloque y rampa, calcula la distancia que habrá recorrido cuando su velocidad sea v.

 

 

Solución:

Datos: a, F = m g, μ, v, v0 = 0

Principio de conservación de la energía:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.

SW = Wmg + Wr + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0º = F L = m g L

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = – µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Por lo tanto:

Wr = –µ m g L cos α

Luego:

SW = m g L – µ m g L cos α

Cambios de energía.

Energía cinética:

Ec = Ec2 – Ec1 = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

Ec = (1/2) m v2 – 0

Ec = (1/2) m v2

Energía potencial:

Ep = Ep2 – Ep1 = m g h – 0

∆Ep = m g h

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v2 + m g h

Ahora bien:

sen α = h/L h = L sen α

luego:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v2 + m g L sen α

g L – µ g L cos α = (1/2) v2 + g L sen α

g L – µ g L cos α – g L sen α = (1/2) v2

(1 – µ cos α – sen α) g L = (1/2) v2

L = v2/2 g (1 – µ cos α – sen α)

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 07

 

Desde el punto más alto de una rampa de altura h y ángulo α se impulsa un bloque hacia abajo con velocidad v0. Sabiendo que el bloque llega al final de la rampa con la misma velocidad que salió aplica el principio de la conservación para determinar el valor del coeficiente de rozamiento.     

 

 

Solución:

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) y a la normal de la superficie (N).

SW = Wmg + Wr + WN

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

luego:

Wr = –µ m g L cos α

sen α = h/L → L = h/sen α

Wr = –µ m g (h/sen α) cos α

Por lo tanto:

SW = –µ m g (h/sen α) cos α

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v0                  hin = h

Estado final:

vfin = v0             hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v02 – (1/2) m v02 = 0

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

–µ m g (h/sen α) cos α = –m g h

(µ/sen α) cos α = 1

µ = sen α/cos α = tg α

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 06

 

Partiendo del reposo se hace bajar un bloque de 2 kp por una rampa de 5 m de longitud e inclinada 20º, tirando con una fuerza paralela a ésta. Sabiendo que el bloque llega al final de la rampa con una velocidad de 4 m/s y que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y superficie es 0,2, determina el valor de la fuerza (Aplicando el principio de conservación)

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; P = 2 kp m = 2 kg; L = 5 m; α = 20º; v = 4 m/s; μ = 0,2 

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.


SW = Wmg + Wr + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

luego:

Wr = –µ m g L cos α

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0 = F L

Por lo tanto:

SW = –µ m g L cos α + F L

Cambios de energía.

Estado inicial:

v0 = 0          h0 = h

Estado final:

v1 = v          h1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α + F L = (1/2) m v2 – m g L sen α

F L = (1/2) m v2 – m g L sen α + µ m g L cos α

F L = (1/2) m v2 – m g L (sen α – µ cos α)

F = [(1/2) v2 – g L (sen α – µ cos α)] m/L

F = [(1/2)·(4 m/s)2 – (9,8 m/s2)·5 m (sen 20º – 0,2·cos 20º)]·2 kg/5 m = 0,18 N

 

 

 

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