Archivo de abril de 2019

Teorema de conservación de la energía. Energía elástica 02

 

Un muelle de constante 200 N/m cuelga verticalmente. Se une a su extremo libre una masa de 10 kg y se deja caer. Determina:

a)  Cuánto se estirará el muelle hasta detener el bloque.

b)  Velocidad de la masa al pasar por la posición de equilibrio.

c)  Elongación del muelle cuando la velocidad de la masa es de 1 m/s.

 

 

Solución:

Datos: k = 200 N/m; m = 10 kg

a)  Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante la caída el bloque sólo está sometido al peso y a la fuerza elástica, cuyos trabajos ya están incluidos en las variaciones de las energías potencial y elástica. Por tanto, ΣW = 0.         

Cambios de energía.

Estado inicial:

v1 = 0          d1 = 0

Ec1 = 0

Ep1 = m g h1

EE,1 = 0

Estado final:

v2 = 0          d2 = d

Ec2 = 0

Ep2 = m g h2

EE,2 = (1/2) k d2

ΔEc = 0 – 0 = 0

ΔEp = m g h2 – m g h1 = m g (h2 – h1)

h1 = d + h2 –d = h2 – h1

ΔEp = m g (–d) = –m g d

ΔEE = (1/2) k d2 – 0 = (1/2) k d2

Sustituyendo en la expresión de la conservación de la energía tenemos que:

0 = 0 – m g d + (1/2) k d2

m g d – (1/2) k d2 = 0

 d [m g – (1/2) k d] = 0

Primera solución:

d = 0

Segunda solución:

m g – (1/2) k d = 0

2 m g – k d = 0

k d = 2 m g

d = 2 m g/k

Se han obtenido dos soluciones, ya que lo que se ha calculado es la elongación del muelle cuando la velocidad del bloque es cero. Esto ocurre en el momento de liberar el bloque (d = 0) y cuando éste se detiene en su caída (d = 2 m g/k).

d = 2·10 kg·(9,8 m/s2)/200 (N/m) = 196 N/200 (N/m) = 0,98 m

b)  En este caso vale todo lo visto en el apartado anterior excepto que v2 = v, por tanto:

Cambios de energía:

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = –m g d

ΔEE = (1/2) k d2

0 = (1/2) m v2 – m g d + (1/2) k d2

         m v2 = 2 m g d – k d2

v2 = 2 g d – (k/m) d2        

En la posición de equilibrio se compensan la fuerza elástica y el peso del cuerpo, por tanto la correspondiente elongación de muelle es:

FE = m g k d = m g d = m g/k

Por tanto:

c)  Para resolver este apartado se ha de utilizar la expresión hallada inicialmente en b) y que en este caso: v2 = v = 1 m/s.

0 = (1/2) m v2 – m g d + (1/2) k d2

k d2 – 2 m g d + m v2 = 0


A la vista del resultado hallado, cabría preguntar por qué se han obtenido dos soluciones distintas, es decir, que el bloque tiene la misma velocidad en dos lugares diferentes. Esto es debido a que inicialmente el bloque no tiene velocidad y al finalizar la caída tampoco porque se para. Si la velocidad cambia de cero a cero, habrá crecido desde 0 hasta un máximo y luego decrecido hasta 0, por tanto cualquier valor de la velocidad, inferior al máximo, lo habrá tenido dos veces.

Una explicación más sencilla es la siguiente:

El bloque realiza un movimiento armónico, por lo que en cada oscilación tendrá el mismo valor de la velocidad en dos posiciones diferentes, que son simétricas respecto a la posición de equilibrio. Comprobemos esto.

Posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio se compensan la fuerza elástica y el peso.

La correspondiente elongación del muelle es:

k d = m g → d = m g/k

d = 10 kg· (9,8 m/s2)/(200 N/m) = 0,49 m

La elongación correspondiente a la posición de equilibrio es 0,49 m

En la figura se puede comprobar que las posiciones donde la velocidad vale lo mismo, en módulo, están a 0,44 m del origen, una a cada lado.

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Energía elástica 01

 

Un bloque de 1 kg, en reposo sobre una superficie horizontal, está en contacto con un muelle de constante 400 N/m comprimido 5 cm. Se libera el muelle que al descomprimirse empuja al bloque, determina la distancia que recorrerá éste hasta detenerse. Coeficiente de rozamiento entre bloque y superficie: 0,1.

 

 

Solución:

Datos: m = 1 kg; k = 400 N/m; d = 5 cm; µ = 0,1

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

ΣW = WP + WN + Wr + WFE

El trabajo realizado por el peso (WP) no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

WN = N d cos 90º = 0

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo realizado por el muelle (WFE)  no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía elástica.

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

Wr = Fr d cos 180º = –µ N d

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g

Por tanto:

Wr = –µ m g d

Cambios de energía.

Estado inicial:

v0 = 0          h0 = 0          d0 = d

Estado final:

v1 = v          h1 = 0          d1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0

ΔEE = 0 – (1/2) k d2 = –(1/2) k d2

Haciendo las debidas sustituciones en la ley de conservación:

–µ m g d = (1/2) m v2– (1/2) k d2

0 = (1/2) m v2– (1/2) k d2 + µ m g d

0 = (1/2) m v2 – [(1/2) k d – µ m g] d

Vamos a realizar una aproximación para simplificar la anterior expresión:

(1/2) k d >> µ m g →[(1/2) k d + µ m g] » (1/2) k d

Estamos suponiendo que la fuerza media del muelle al expandirse, es mucho mayor que la fuerza de rozamiento. En este caso podemos comprobar la veracidad de la hipótesis utilizando los valores numéricos:

FE = (1/2) k d = (1/2)·400 (N/m)·0,05 m = 10 N

µ m g = 0,1·1 kg·9,8 (m/s) = 0,98 N

La fuerza media del muelle es unas 10 veces mayor que la del rozamiento, o sea, que el error cometido, con la aproximación que se pretende hacer, es mínimo. Luego la suposición es aceptable.

Por lo tanto podemos escribir:

0 = (1/2) m v2 – (1/2) k d2

El resultado obtenido nos indica que toda la energía elástica almacenada en el muelle, se convierte en energía cinética del bloque. No se pierde, prácticamente, nada por rozamiento.

Ahora bien, esta energía cinética se disipará al realizar un trabajo de rozamiento cuando el bloque se suelte el muelle, por tanto:

Ec = EE = Wr

(1/2) k d2 = Fr x

 (1/2) k d2 = µ N x

(1/2) k d2 = µ m g x

x = k d2/2 µ m g

Fuerza media del muelle:

Un muelle que tiene su longitud natural no hace fuerza y cuando tiene una deformación d hace una fuerza: k·d.

La fuerza media que hace un muelle al estirarse una distancia d viene dada por:

FE = (k d + 0)/2 = k d/2

 

 

Teorema de conservación de la energía. Dos planos inclinados 03


Desde el punto A se lanza una pelota con velocidad v0. Siendo el coeficiente de rozamiento µ determina:

a)  La velocidad con que llegará a B.

b)  ¿Cuál será la velocidad mínima con la que deberá ser lanzada la pelota para que llegue a B? En este último caso, ¿cuál sería la velocidad de llegada a B?

 

 

Solución:

a)  Subida:

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen α) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos α (h/sen α)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v0         hin = 0

Estado final:

vfin = v                   hfin = h

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

ΔEp = m g h – 0 = m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos α (h/sen α) = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g cos α (h/sen α) = (1/2) v2 – (1/2) v02 + g h

Bajada:

La pelota baja por la otra rampa y llega al final con velocidad v’

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen b) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos b (h/sen b)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v          hin = h

Estado final:

vfin = v’         hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos b (h/sen b) = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2 – m g h

–µ g cos b (h/sen b) = (1/2) v’2 – (1/2) v2 – g h

Combinando los resultados obtenidos en la subida y la bajada se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de incógnitas v y v’.

–µ g h ctg α – µ g h ctg b = (1/2) v’2 – (1/2) v02

–2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b = v’2 – v02

–2 µ g h (ctg α + ctg b) + v02 = v’2 

También se podía haber realizado teniendo en cuenta que la energía cinética que posee la pelota en el punto A, ha de ser igual a la energía cinética que tiene en el punto B más el trabajo de rozamiento en cada uno de los planos, es decir:

Ec (A) = Ec (B) + Wr,1 + Wr,2

(1/2) m v02 = (1/2) m v’2 + µ m g cos α (h/sen α) + µ m g cos b (h/sen b)

v02 = v’2 + 2 µ g h ctg α + 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h (ctg α + ctg b)

b)  A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, cabría pensar que bastaría con que v’ = 0 para que la pelota hubiera llegado de A hasta B, o sea:

pero…¡no es así!

Para que la pelota llegue a B tendrá que llegar primero a la cima y eso requiere una velocidad mínima de lanzamiento que se puede obtener a partir de los resultados de la primera parte del apartado a), haciendo v = 0.

–µ m g cos α (h/sen α) = 0 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

(1/2) v02 = µ g h ctg α + g h

v02 = 2(µ g h ctg α + g h)

Con esta velocidad inicial la velocidad de llegada sería:

 

 

 

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