Archivo de noviembre de 2018

Oscilador armónico simple 07

 

El bloque de masa m descansa sobre una superficie lisa y está unido a sendos muelles, de constantes k1, k2. Se separa el bloque de su posición de equilibrio y se suelta. Demuestra que oscilará armónicamente y calcula el período

 

 

Solución:

Fuerzas que intervienen en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio los muelles no están deformados, por tanto no hay fuerzas tangenciales.

Empujamos el bloque hasta una distancia x a la derecha de la posición de equilibrio, por lo que el muelle 1 se alarga una distancia x y tira del bloque hacia la izquierda y el muelle 2 se comprime una distancia x y empuja al bloque hacia la izquierda.

Fuerzas que intervienen:

Según la anterior figura se tiene:

Fuerzas normales:

N = m g

Fuerzas tangenciales:

Fe1 + Fe2 = m a k1 x + k2 x = m a

a = (k1 + k2)·x/m

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico.

Por Cinemática se sabe que módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 x (se ha suprimido el signo negativo porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica, ha de ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, luego:

 

 

 

Oscilador armónico simple 06

 

Un muelle se comprime 4 cm bajo la acción de una fuerza de 200 N. Halla el período de oscilación cuando se le cuelga un peso de 50 kg.

 

 

Solución:

Datos: x = 4 cm; F = 200 N; m = 50 kg

Período del movimiento:

T = 2π/ω

Debemos tener claro que en este problema hay dos situaciones:

1)  El muelle situado horizontalmente se comprime 4 cm al oprimirle con una fuerza de 200 N

2)  El muelle suspendido verticalmente provoca la oscilación de un bloque de 50 kg

Cálculo del período:

Consideremos el bloque en la posición de equilibrio y las fuerzas que actúan sobre él.

En la posición de equilibrio el muelle no está deformado. No hay fuerza tangencial.

Llevamos el bloque a una distancia x de la posición de equilibrio y soltamos.

Observa que estamos desplazando el bloque hacia la derecha, mientras que en el problema el bloque se desplaza hacia la izquierda de la posición de equilibrio. Para calcular el período no importa el sentido de la elongación

Fuerzas normales:

N – m g = 0 N = m g

Fuerza tangenciales:

Fe = m a

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a esta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = x ω2 (Se ha suprimido el signo menos porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica tiene que ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, por tanto:

Fe = m x ω2ω2 = Fe/m x

Sustituyendo en la expresión del período tenemos que:

 

 

 

Oscilador armónico simple 05

 

Un muelle de constante 19,6 N/cm cuelga del techo.  En su extremo libre se cuelga otro muelle de constante 39,2 N/cm, en cuyo extremo libre se cuelga un bloque de 10 kg. Determina el alargamiento de cada muelle cuando el bloque está en equilibrio.

 

 

Solución:

Datos: k1 = 19,6 n/cm; k2 = 39,2 n/cm; m = 10 kg

Fuerzas que intervienen:

Para que el bloque se encuentre en equilibrio se ha de cumplir que la fuerza de muelle 2 que tira para arriba, ha de ser igual al peso que tira hacia abajo, es decir:

Fe = m g

Por el principio de acción y reacción, el bloque tira del muelle 2 hacia abajo con la misma fuerza que tira el muelle 2 del bloque hacia arriba. El muelle 1 tira del muelle 2 hacia arriba. Las dos fuerzas sobre el muelle 2 se compensan.

Fe1 = Fe2 = m g

k1 d1 = m g d1 = m g/k1

k2 d2 = m g d2 = m g/k2

d1 = 10 kg·(9,8 m/s2)/(19,6 N/cm) = 5 cm

d2 = 10 kg·(9,8 m/s2)/(39,6 N/cm) = 2,5 cm

Se puede observar que a menor constante de elasticidad, mayor alargamiento del muelle.

 

 

 

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