Archivo de octubre de 2018

Rodadura del sólido rígido. Poleas 08

 

Determina la aceleración angular de la polea cuando se deje en libertad el sistema.

Los radios de la doble polea son: r, 3·r/2 y su masa, m, está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Predicción del sentido del movimiento:

Momento de F:

MF =  (3·r/2)·m g = (3/2)·r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Momento de T:

MT = r·2 m g = 2 r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Pero como MT es mayor que MF, la polea empezará a girar en sentido antihorario.

Momentos de las fuerzas (torque):

T·r – (3/2) r m g = I α

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = m·[(3/2)·r]2 = (9/4) m r2

Por lo tanto:

T·r – (3/2) r m g = (9/4) m r2 α

T – (3/2) m g = (9/4) m r α

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

2 m g – T = m a → T = 2 m g – 2 m a

Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular:

a = α r

Luego:

T = 2 m g – 2 m α r

2 m g – 2 m α r – (3/2)·m g = (9/4) m r α

2 g – 2 α r – (3/2) g = (9/4) r α

(9/4) r α + 2 α r = (1/2) g

(17/4) r α = (1/2) g

α  = 4 g/34 r = 2 g/17 r

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 07

 

El sistema de la figura comienza a moverse partiendo del reposo. Calcula el tiempo que tardará la polea en dar una vuelta.

Las masa de los bloques son: m1 = m, m2 = 4m, la masa de la polea es; 15m/4 y se puede suponer concentrada en la periferia. La fuerza F es igual al peso del bloque 1. El radio de la polea vale R = 50 cm.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 0; φ = 1 rev; m1 = m; m2 = 4m; M = 15m/4; F = m g; R = 50 cm

Según Cinemática:

φ = ω0 + (1/2) α t2

φ = 0 + (1/2) α t2 t2 = 2φ/α

Como conocemos el valor de φ (2π rad), para hallar el valor de t necesitamos averiguar el valor de α.

Predicción del sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g = m g               T2 = m2 g = 4 m g

Momento del torque sobre la polea

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

Momento de F:

MF = (2 R)·m g·sen 90º = 2 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

Momentos de T1 y de T2:

MT,1 = R·m1·sen 90º = R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

MT,2 = R·m2·sen 90º = R·(4 m)·g = 4 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = 2 R m g + R m g – 4 R m g + 0 + 0 = –R m g

Este momento hará que la polea empiece a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Rotación de la polea:

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0                   MMg = 0

Momento de F:

MF = 2 R F (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T1:

MT,1 = R T1·sen 90º = R T1 (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T2:

MT,2 = R T2·sen 90º = R T2 (Mismo sentido que el de la aceleración)

M = –2 R F – R T1 + R T2 + 0 + 0

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

–2 R F – R1 T1 + R T2 = I α

Traslación de los bloques:


Los bloques están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones son iguales.

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales.    

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

–2 R F – R T1 + R T2 = I α

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

a = α R

Ahora sustituiremos el valor de a en las expresiones de las tensiones y después despejaremos las tensiones.

T1 – m g = m α R T1 = m g  + m α R

–T2 + 4 m g = 4 m α R T2 = 4 m g – 4 m α R

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema:

–2 R m g – R (m g + m α R) + R (4 m g – 4 m α R) = I α

–2 R m g – R m g – m α R2 + 4 R m g – 4 m α R2 = I α

R m g – 5 m α R2 = I α

I α + 5 m α R2 = R m g

(I + 5 m R2) α = R m g

α = R m g/(I + 5 m R2)

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = (15m/4)·(2R)2 = 15 m R2 

Luego:

α = R m g/(15 m R2 + 5 m R2)

α = R m g/20 m R2

α = g/20 R

 

 

 

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