Archivo de octubre de 2018

Rodadura del sólido rígido. Poleas 11

 

Calcula la aceleración angular que adquiere la doble polea al dejar en libertad el sistema mostrado en la figura.

Los dos bloques tienen la misma masa: m. La doble polea tiene radios R y R/2 y una masa 5m que está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m; R1 = R/2; R2 = R; M = 5m

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = MN + MMg + Mm1g + Mm2g

El peso de la polea Mg y la normal N están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M1 = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (sentido agujas del reloj)

M2 = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

M = 0 + 0 – R1 m1 g – R2 m2 g

M = –R1 m1 g – R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el mismo sentido al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MMg + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

MT1 = R1 T1 g sen 90º = R1 T1 (sentido de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 g sen 90º = R2 T2 (sentido de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (sentido agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T1 + m1 g = m1 a1 T1 = m1 g – m1 a1

–T2 + m2 g = m2 a2 T2 = m2 g – m2 a2

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

R1 T1 + R2 T2 = I α

T1 = m1 g – m1 a1

T2 = m2 g – m2 a2

a1 = α R1

a2 = α R2

Sustituyendo en la primera expresión:

R1 (m1 g – m1 a1) + R2 (m2 g – m2 a2) = I α

R1 (m1 g – m1 α R1) + R2 (m2 g – m2 α R2) = I α

R1 m1 g – m1 α R12 + R2 m2 g – m2 α R22 = I α

I α + m1 α R12 + m2 α R22 = R1 m1 g + R2 m2 g

(I + m1 R12 + m2 R22) α = R1 m1 g + R2 m2 g

α = (R1 m1 g + R2 m2 g)/(I + m1 R12 + m2 R22)

Según los datos del problema tenemos que:

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 10

 

Calcula la aceleración angular de la doble polea, sabiendo que la zapata A ejerce una fuerza de frenado constante igual a 10 N.

Datos de los bloques: m1 = 4 kg y m2 = 1 kg

Datos de la doble polea: R = 50 cm, R’ = 75 cm, I = 0,8 kg·m2

 

 

Solución:

Datos:

De los bloques: m1 = 4 kg; m2 = 1 kg

De la polea: R = 50 cm, R’ = 75 cm, I = 0,8 kg·m2; F = 10 N

Sentido de giro.

La fuerza de rozamiento no decide el sentido del movimiento, así que basta con considerar el peso de los bloques cuyas cuerdas están a la misma distancia del centro. Bajará el bloque que pese más, es decir, el bloque 1. Luego el sentido del giro será el de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2 + MF

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MF = R’ F sen 90º = R’ F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R T2 sen 90º = R T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT1 = R T1 sen 90º = R T1 (Sentido el de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R T1 – R T2 – R’ F

M = R T1 – R T2 – R’ F (Sentido el de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R T1 – R T2 – R’ F = I α

Traslación de los bloques:

T2 – m2 g = m2 a

–T1 + m1 g = m1 a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales. Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

R T1 – R T2 – R’ F = I α

T2 = m2 g + m2 α R

T1 = m1 g – m1 α R

Sustituyendo en la primera ecuación tenemos que:

R (m1 g – m1 α R) – R (m2 g + m2 α R) – R’ F = I α

R m1 g – m1 α R2 – R m2 g – m2 α R2 – R’ F = I α

R m1 g – R m2 g – R’ F = I α + m1 α R2 + m2 α R2

I α + m1 α R2 + m2 α R2 = R m1 g – R m2 g – R’ F

α [I + R2 (m1 + m2)] = R g (m1 – m2) – R’ F

α =  [R g (m1 – m2) – R’ F]/[I + R2 (m1 + m2)]

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 09

 

Calcula la aceleración angular de la doble polea, sabiendo que la zapata A ejerce una fuerza de frenado constante igual a 10 N.

Datos de los bloques: m1 = 4 kg, m2 = 1 kg

Datos de la doble polea: R1 = 50 cm, R2 = 75 cm, I = 0,8 kg·m2

 

 

Solución:

Datos:

De los bloques: m1 = 4 kg, m2 = 1 kg

De la polea: R1 = 50 cm, R2 = 75 cm, I = 0,8 kg·m2, F = 10 N

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

La fuerza de rozamiento no decide el sentido del movimiento.

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = Mm1 g + MN + MM g + Mm2 g

Mm1 g = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (Sentido el de las agujas del reloj)

Mm2 g = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = –R1 m1 g + 0 + 0 + R2 m2 g

M = –R1 m1 g + R2 m2 g

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema, R1 m1 > R2 m2 (2 > 0,75)

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2 + MF

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MF = R2 F sen 90º = R2 F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 sen 90º = R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT1 = R1 T1 sen 90º = R1 T1 (Sentido el de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 – R2 T2 – R2 F

M = R1 T1 – R2 T2 – R2 F (Sentido el de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 – R2 T2 – R2 F = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

T2 – m2 g = m2 a2

–T1 + m1 g = m1 a1

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R → v = ω R

dv/dt = (dω/dt) → a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

R1 T1 – R2 T2 – R2 F = I α

T2 – m2 g = m2 a2

–T1 + m1 g = m1 a1

a1 = α R1

a2 = α R2

de donde se obtiene:

R1 T1 – R2 T2 – R2 F = I α

T2 = m2 g + m2 α R2

T1 = m1 g – m1 α R1

Sustituyendo T2 y T1 en la primera expresión tenemos que:

R1 (m1 g – m1 α R1) – R2 (m2 g + m2 α R2) – R2 F = I α

R1 m1 g – m1 α R12 – R2 m2 g – m2 α R22 – R2 F = I α

R1 m1 g – R2 m2 g – R2 F = I α + m1 α R12 + m2 α R22

(I + m1 R12 + m2 R22) α = R1 m1 g – R2 m2 g – R2 F

α = [R1 m1 g – R2 (m2 g + F)]/(I + m1 R12 + m2 R22)

Mediante la ecuación de dimensiones podemos comprobar si la expresión hallada es correcta, teniendo en cuenta que las unidades de la aceleración angular es T–2.

[α] = [L M L T–2 – L (M L T–2 + M L T–2)]/(M L2 + M L2 + M L2)

[α] = L2 M T–2/M L2 = T–2

α = [R1 m1 g – R2 (m2 g + F)]/(I + m1 R12 + m2 R22)

 

 

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo