Archivo de septiembre de 2018

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 05

 

Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.

 

 

Solución:

De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.

Rotación alrededor del c. d. m:

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

 M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c. d. m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

 a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.

Nota:

Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:


d = m/V m = d V

V = (4/3) π R3 m = (4/3) π R3 d

La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:


m = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:

(4/3) π R3 d = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

R3 d = R’3 d’ + (R – R’)3 d

R3 d – R’3 d’ = (R – R’)3 d

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 04

 

Un cilindro macizo que va rodando sin deslizar comienza a subir por un plano inclinado de ángulo φ. Determina su aceleración de frenado.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración de frenado, o sea, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La velocidad lineal del cilindro va hacia arriba. La velocidad angular tiene sentido contrario al de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene velocidad porque en él se compensan las velocidades de traslación y rotación)

La aceleración lineal tiene sentido contrario a la velocidad lineal (frena). La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene aceleración porque en él se compensan las aceleraciones)

Para crear un par que produzca aceleración angular el sentido de las agujas del reloj,  la fuerza de rozamiento deberá apuntar hacia arriba (En el mismo sentido que la traslación)

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c.d.m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en la expresión de la aceleración tenemos que:

a = R2 m g sen φ/[(1/2) m R2 + R2 m]

a = R2 m g sen φ/(3/2) m R2

a = (2/3) g sen φ

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Cilindro 04

 

Una cuerda se enrolla en un cilindro de masa m y su extremo libre se ata al techo. El cilindro se deja caer partiendo del reposo y gira a medida que se desenrolla la cuerda. Calcular la aceleración del c. d. m  y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m de un cilindro, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I (a/R) a = M R/I

Rotación alrededor del c. d. m:

Evidentemente el cilindro bajará girando en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento de las fuerzas (torque):

M = MT + Mm g

La fuerza m g (peso) está aplicada en el eje, luego su momento es nulo, es decir:

Mm g = 0

Momento de la tensión:

Según la figura:

MT = R T sen 90º = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Por tanto:

M = R T + 0 = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = T R2/I

Ahora se debe hallar el valor de la tensión.

Traslación del c. d. m:

m g – T = m a → T = m g – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = (m g – m a) R2/I

a I = (m g – m a) R2

a I = R2  m g – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g

 a (I + R2 m) = R2 m g

a = R2 m g/(I + R2 m)

Para hallar la tensión de la cuerda debemos tener en cuenta que:

a = T R2/I

luego:

T = a I/R2 = [R2 m g/(I + R2 m)] I/R2

T = m g I/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en las expresiones anteriores:

a = R2 m g/[(1/2) m R2 + R2 m)]

a = R2 m g/(3/2) m R2

a = (2/3) g

T = m g (1/2) m R2/[(1/2) m R2 + R2 m]

T = (1/2) m2 g R2/(3/2) m R2

T = (1/3) m g

 

 

 

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