Archivo de septiembre de 2018

Rodadura del sólido rígido. Poleas 06

 

Un bloque, m = 10 kg, cuelga de una cuerda arrollada a una polea de radio R1 = 5 cm  que está pegada a otra polea de radio R2 = 20 cm compartiendo ambas el mismo eje. En la polea de mayor radio se aplica tangencialmente una fuerza de F = 3 kp para hacer subir el bloque. Siendo el momento de inercia de la doble polea 750 kg·cm2, calcula la aceleración angular de la polea.

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; R1 = 5 cm; R2 = 20 cm; F = 3 kp; I = 750 kg·cm2

Para que el bloque suba la polea deberá girar en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento.

Observa que la normal está inclinada para compensar la fuerza hacia la derecha (F) y la fuerza hacia abajo (mg)

Momento de las fuerzas (torque):

M = MN + MF + MMg + MT

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir: MN = 0 y MMg = 0.

MF = R2 F sen 90º = R2 F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT = R1 T sen 90º = R1 T (Sentido de las agujas del reloj) 

La aceleración angular tiene el sentido contrario al de las agujas del reloj, por tanto:

MF > MT

M = R2 F – R1 T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R2 F – R1 T = I α

Traslación del bloque:

T – m g = m a T = m g + m a = m (g + a)

I α = R2 F – R1 m (g + a)

Relación entre traslación y rotación:

a = α R1

(Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda)

I α = R2 F – R1 m (g + α R1) = R2 F – R1 m g – m α R12 

I α + m α R12 = R2 F – R1 m g

(I + m R12) α = R2 F – R1 m g

α = (R2 F – R1 m g)/(I + m R12)

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 05

 

Calcula la velocidad angular de la doble polea, la lineal de los bloques y las tensiones de la cuerda. Cuando la polea haya girado un ángulo j, partiendo del reposo, que velocidad angular llevará.

Datos de la doble polea: Radios, R1 y R2. Momento de inercia I.

 

 

Solución:

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = Mm1 g + MN + MM g + Mm2 g

Mm1 g = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Mm2 g = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R1 m1 g + 0 + 0 + R2 m2 g

M = g (R1 m1 + R2 m2) (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MT1 = R1 T1 sen 90º = R1 T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 sen 90º = R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T2 + m2 g = m2 a2

–T1 + m1 g = m1 a1

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:


Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R → v = ω R

dv/dt = (dω/dt) → a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior se tiene que:

Ahora se puede resolver por Cramer:

De Cinemática tenemos que:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

como partimos del reposo ω0 = 0, luego:

ω = α t                  φ = (1/2) α t2

despejando el tiempo en la segunda expresión y sustituimos en la primera, tenemos que:

Por lo tanto:

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 04

 

Calcula la aceleración angular de la polea, la lineal de los bloques y la tensión de la cuerda, suponiendo que m2 > m1.

Datos de la polea: Masa: M (concentrada en la periferia). Radio: R.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; ω0 = 0; M; m2 > m1

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

Para hallar el sentido del movimiento basta con considerar el peso de los bloques cuyas cuerdas están a la misma distancia del centro. Bajará el bloque que pese más, es decir, el bloque 2. Por lo tanto el sentido de giro del sistema es el de las agujas del reloj.

Veámoslo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque:

M = Mm1,g + MN + MMg + Mm2,g

Mm1,g = R m1 g sen 90º = R m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R m1 g + 0 + 0 + R m2 g = R g (m1 – m2)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m2 > m1.

En cuanto la polea comience a girar cambiarán las tensiones en los extremos de la cuerda y ya no serán iguales al peso del bloque correspondiente.

Rotación de la polea y traslación de los bloques:

MT1 = R T1 g sen 90º = R T1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

MT2 = R T2 g sen 90º = R T2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto:

MT2 > MT1

Momento del torque:

M = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj) 

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

R T2 – R T1 = I α

Traslación de los bloques:

T1 – m1 = m1 a                 m2 g – T2 = m2 g    

Ahora se debe poner la aceleración de traslación a en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R v = ω R

dv/dt = (dω/dt) a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior, resulta el siguiente sistema:

         Momento de inercia de una polea cuya masa está concentrada en la periferia, respecto a un eje perpendicular a su centro:

I = M R2

Sustituyendo en las anteriores expresiones:

Se puede observar que si la masa de la polea es cero, las tensiones en los extremos de la cuerda, durante el movimiento, son iguales.

 

 

 

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