El Sapo Sabio

Archivo de julio de 2018

 

Una esfera homogénea, m = 50 kg, R = 1 m, gira alrededor de su diámetro a 600 r.p.m. Tangencialmente se le aplica una fuerza constante de frenado de 100 N. Calcular:

a)  Aceleración angular de frenado.

b)  Vueltas que da hasta pararse y tiempo que tarda en hacerlo.

 

 

Solución: 

Datos: m = 50 kg; R = 1 m; ω₀ = 600 r.p.m = 20 π rad/s; F = 100 N

a)  Supongamos que inicialmente la esfera gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

M = I α → α = M/I

M = M_F + M_P + M_N

M_F = R F sen 90º = R F

Este momento produce una aceleración de sentido contrario a la velocidad.

M_P = 0, M_N = 0 (ya que ambas fuerzas están aplicadas en el eje)

Momento de inercia de la esfera si la masa está distribuida uniformemente: (2/5) m R² 

α = R F/(2/5) m R² = 5 F/2 m R

α = 5·100 N/2·50 kg·1m = 500 kg (m/s²)/100 kg m = 5 rad/s²

b)  Dato: ω = 0

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

0 = ω₀ – α t → t = ω₀/α

φ = ω₀ (ω₀/α) – (1/2) α (ω₀/α)²

φ = (ω₀²/α) – (ω₀²/2α) = ω₀²/2α 

t = 20 π (rad/s)/5 rad/s² = 12,6 s

φ = (20 π rad/s)²/2·5 rad/s² = 40 π² rad·(rev/2 π rad) = 63 rev o vueltas

 

 

 

 

Una rueda de 1 m de radio, lleva sujetos en los extremos de un diámetro dos cohetes que al arder ejercen fuerzas tangenciales de 0,25 kp en sentidos contrarios. Calcula el torque que actúa sobre la rueda y su aceleración angular. Momento de inercia de la rueda: 4 kg·m².

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución: 

Datos: R = 1 m; F₁ = F₂ = F = 0,25 kp; I = 4 kg·m²

Momento del torque:

M = M_F1 + M_F2 + M_P + M_N

Momento de F₁:

M_F1 = RxF₁ → M_F1 = R F₁ sen 90º = R F₁ = R F

Momento de F₂:

M_F2 = RxF₂ → M_F2 = R F₂ sen 90º = R F₂ = R F

Momento de P:

M_P = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Momento de N:

M_N = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

M = R F + R F = 2 R F

M = 2·1 m·0,25 kp·(9,8 N/kp) = 4,9 N·m

Éste momento hará que el disco comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Aceleración angular:

M = I α → α = M/I

α = 4,9 kg·(m/s²)·m/4 kg·m² = 1,23 rad/s²

 

 

 

Un disco homogéneo, m = 5 kg, R = 1 m, puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su c. d. m. Tangencialmente al disco se aplica una fuerza de 4 N, calcula el torque del disco y la aceleración angular que tomará éste.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución: 

Datos: m = 5 kg; R = 1 m; F = 4 N

Momento del torque:

M = M_P + M_F + M_N

Momento de P:

M_P = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Momento de F:

M_F = RxF → M_F = R F sen 90º = R F

Momento de N:

M_N = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Obsérvese que la normal está inclinada para compensar a la fuerza horizontal (F) y a la fuerza vertical (P).

M = 1 m·4 N = 4 Nm

Éste momento hará que el disco comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Aceleración angular:

M = I α → α = M/I = R F/I

Momento de inercia de un disco cuya masa está distribuida uniformemente respecto a un eje perpendicular a su centro:

I = (1/2) m R²

Sustituyendo en la anterior ecuación:

α = R F/[(1/2) m R²] = 2 F/m R

α = 2·4 kg·(m/s²)/5 kg·1 m = 1,6 rad/s²