Archivo de junio de 2018

Momento de una fuerza (torque) 04

 

Suponiendo despreciable la masa de las varillas, calcula el torque del sistema y su aceración angular.

Datos: m1 = 1 kg; m2 = 2 kg; L1 = 2 m; L2 = 2 m; φ = 120º

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución: 

Datos: m1 = 1 kg; m2 = 2 kg; L1 = 2 m; L2 = 2 m; φ = 120º

Momento del torque del sistema:

M = MP,1 + MP,2 + MN

Momento de P1:

MP,1 = L1xP1 → MP,1 = L1 P1 sen 90º = L1 m1

MP,1 = 2 m·1 kg·(9,8 m/s2) = 19,6 N m

Momento de P2:

MP,2 = d2xP2 → MP,2 = d2 P2 sen 90º = d2 m2 g

cos β = cos (180º – φ) = d2/L2

d2 = L2 cos (180º – φ) = cos (180º – 120º) = L2 cos 60º 

MP,2 = m2 g L2 cos 60º

MP,2 = 2 kg·(9,8 m/s2)·2 m·cos 60º =19,6 N m

Momento de N:

MN = 0 (la fuerza está aplicada en el eje)

Como hay dos momentos de igual módulo y sentidos opuestos, el momento total es cero.

Al no haber torque no habrá aceleración angular, es decir, α = 0. El sistema no girará.

 

 

Momento de inercia. Teorema de Steiner 05

 

Calcular el momento de inercia del conjunto respecto al eje indicado.

Datos:

Las esferas son iguales: Masa: m. Radio: R

Varilla: Masa: M. Longitud: L

 

 

Solución:

Momento de inercia:

I = I1 + I2 + I3

Para hallar el momento de inercia de las dos esferas con respecto a sus respectivos ejes, hay que aplicar el teorema de Steiner:

I = I0 + m d2

Momento de inercia de una esfera cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a su diámetro:

I0 = (2/5) m R2

por tanto:

I1 = I0 + m [R + (L/2)]2 = (2/5) m R2 + m [R + (L/2)]2 

Momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje perpendicular a su punto medio:

I = (1/12) M L2

Momento de la segunda esfera:

El momento de inercia de esta esfera es igual que el de la primera, luego:

I2 = I0 + m [R + (L/2)]2 = (2/5) m R2 + m [R + (L/2)]2 

I = (2/5) m R2 + m [R + (L/2)]2 + (1/12) M L2 +(2/5) m R2 + m [R + (L/2)]2 

I = (4/5) m R2 + 2m [R + (L/2)]2 + (1/12) M L2

I = (4/5) m R2 + 2m [R2 + R L + (L2/4)] + (1/12) M L2 =

= (4/5) m R2 + 2m R2 + 2m R L + (1/2) m L2 + (1/12) M L2 =

= (14/5) m R2 + 2m R L + [(1/2) m + (1/12) M] L2

 

 

 

Momento de inercia 05

 

Por un plano inclinado de ángulo φ, baja rodando sin deslizar un cilindro no homogéneo de masa m y radio R. Sabiendo que la aceleración de su c.d.m es a, calcula el momento de inercia del cilindro.

 

 

Solución:

Datos: φ, m, R, a

Momento de una fuerza (torque):

M = I α

Para que el cuerpo baje rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.

Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:

Traslación del c.d.m:

N – m g cos φ = 0 N = m g cos φ

m g sen φ – Fr = m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

Rotación alrededor del c.d.m:

Sentido de giro:

Como el cilindro está bajado por la rampa girará en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento del torque:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0      Mm g cos φ= 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

MN = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R Fr + 0

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:

N = m g cos φ

m g sen φ – Fr = m a

M = I α → R Fr = I α

Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:

R Fr = I a/R Fr = I a/R2

m g sen φ – Fr = m a Fr = m g sen φ – m a

I a/R2 = m g sen φ – m a

I a = R2 m (g sen φ – a)

I = R2 m (g sen φ – a)/a

 

 

 

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