Archivo de mayo de 2018

Conservación del momento lineal 13

 

Dos bloques, de 200 g y 100 g respectivamente, se mueven el uno hacia el otro sobre una superficie horizontal lisa, con velocidades respectivas de 10 y 20 cm/s. Si los bloques chocan y quedan unidos, calcula la velocidad final.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 200 g; m2 = 100 g; v1 = 10 cm/s; v2 = 20 cm/s

Antes del choque:

Momento lineal inicial:

P = m1 v1 + m2 v2

Después del choque:

Momento lineal final:

P’ = (m1 + m2) v’

Después de un choque totalmente inelástico los cuerpos quedan unidos y se mueven con la misma velocidad.

Conservación del momento lineal:

Durante el choque los bloque únicamente están sometidos a la fuerza de contacto F’ (interior) porque en cada uno de ellos se compensan el peso y la normal (exteriores). Por tanto el momento lineal se conserva.

P’ = P

(m1 + m2) v’ = m1 v1 + m2 v2

v’ = (m1 v1 + m2 v2)/(m1 + m2)

Después del choque los bloques permanecen parados.

 

 

 

Conservación del momento lineal 12

 

Desde el punto A se lanza horizontalmente una pelota con velocidad 8 m/s. Sabiendo que la pelota choca elásticamente con la pared opuesta, determina dónde llega al suelo (Las distancias están dadas en m)

 

 

Solución:

Datos: v0 = 8 m/s; x1 = 10 m; y’1 = –20 m

Primero calcularemos dónde choca la pelota con la pared y la velocidad con qué lo hace:

Ecuaciones del movimiento cuando la pelota impacta con la pared de enfrente:

vx1 = v0        vy1 = –g t1

x1 = v0 t1      y1 = –(1/2) g t12

Tiempo que tarda en impactar:

t1 = x1/v0

Sustituyendo:

y1 = – (1/2) g (x1/v0)2

vx1 = 0                  vy1 =  – g·(x1/v0)

Ahora averiguaremos la velocidad de la pelota tras el choque con la pared.

Componentes de la velocidad después del choque:

En un choque oblicuo elástico la velocidad paralela a la pared (vy) se conserva y la velocidad normal (vx) se invierte (cambia de sentido).

v’x = – v0               v’y = – g·(x1/v0)

Por último calcularemos dónde llega la pelota al suelo.

Ecuaciones del movimiento después del impacto:

v’x = – v’x0              v’y =  – v’y0 – g t

x’ =  x’0 – v’x0 t                 y’ = – y’0  – v’y0 t – (1/2) g t2

No hay ángulo de tiro porque las velocidades caen sobre los ejes.

Parámetros:

v’x0 = v0                 v’y0 = g x1/v0

x’0 = x1                  y’0 = (1/2) g (x1/v0)2

Los parámetros no se ponen con signo. El signo se pone en las ecuaciones.

Llegada al suelo:

x’1 =  x’0 – v’x0 t1

y’1 = – y’0  – v’y0 t1 – (1/2) g t12

Vamos a despejar el tiempo de la segunda expresión:

(1/2) g t12 + v’y0 t1 + (y’1 + y’0) = 0 

La raíz negativa no sirve porque da un tiempo negativo.

Sustituyendo en la primera expresión y realizando los debidos cambios:

La pelota se encuentra horizontalmente a una distancia de 3,84 m a la derecha de A.

Es interesante observa lo siguiente:

Se puede comprobar que si no hubiera pared la pelota habría tocado el suelo en:

y se obtiene que, tras impactar con la pared, la pelota toca el suelo en:

La pared está en el punto medio entre las dos posiciones. Es decir, el punto de impacto con el suelo cuando hay choque es simétrico, respecto a la pared, del punto de impacto cuando no hay choque.

Es como si se reflejara la trayectoria en la pared.

 

 

 

Conservación del momento lineal 11

 

Desde la terraza de un edificio de 30 m de altura se deja caer un cuerpo de 100 g, simultáneamente se lanza desde el suelo hacia arriba a 20 m/s otro cuerpo de 400 g. Ambos cuerpos chocan y quedan incrustados. Calcula el tiempo que tarda el conjunto en llegar al suelo desde que se produjo el choque.

 

 

Solución:

Datos: y1 = 30 m; v1,0 = 0; m1 = 100 g; v2,0 = 20 m/s; m2 = 400 g

Gráfica del movimiento:

Ecuaciones del movimiento del cuerpo 1:

v1 = v1,0 – g t1 = 0 – g t1

v1 = –g t1

y1 = y1,0 –  v1,0 t1 – (1/2) g t12 = y1,0 – 0 – (1/2) g t12

y1 = y1,0 – (1/2) g t12

Ecuaciones del movimiento del cuerpo 2:

v2 = v2,0 – g t2

y2 = v2,0 t2 – (1/2) g t22

Cuando los cuerpos choque se cumplirá que:

t1 = t2 = t              y1 = y2 = y’

Por tanto:

v1 = –g t

y’ = y1,0 – (1/2) g t2

v2 = v2,0 – g t

y’ = v2,0 t – (1/2) g t2

De la segunda y cuarta ecuaciones del anterior sistema tenemos que:

y1,0 – (1/2) g t2 = v2,0 t – (1/2) g t2

y1,0 = v2,0 t

t = y1,0/v2,0

Tiempo que tardan en chocar ambos cuerpos:

t = 30 m/(20 m/s) = 1,5 s

Altura a la que se encuentran:

y' = 30 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1,5 s)2 = 19 m

Velocidad de cada cuerpo:

v1 = –(9,8 m/s2)·1,5 s = –14,7 m/s

v2 = (20 m/s) – (9,8 m/s2)·1,5 s = 5,3 m/s

Ecuaciones del movimiento del conjunto:

v = v’ – g t’

y = y’ + v’ t’ – (1/2) g t’2

Cuando el conjunto llegue al suelo y = 0, luego:

(1/2) g t’2 – v’ t’ – y’ =0

Para hallar el valor de v’ utilizaremos el principio de conservación del momento lineal:

Aunque el sistema no está aislado porque sobre ambos cuerpos actúa la fuerza peso (exterior), ocurre que esta fuerza es despreciable en comparación con las fuerzas internas de contacto F’.  Así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura el choque y el momento lineal se conserva. Por tanto:

P’1 = P’2

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v’

v’ = (m1 v1 + m2 v2)/(m1 + m2)

v’ = [0,1 kg·(–14,7 m/s) + 0,4 kg·(5,3 m/s)]/0,5 kg

v’ = 1,3 m/s

La solución negativa no sirve luego:

t' = 2,1 s

 

 

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