Archivo de mayo de 2018

Conservación del momento lineal 16

 

Se dispara un proyectil de 2 kg de masa verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Cuando se encuentra a 200 m de altura explosiona dividiéndose en dos partes de 0,5 y 1,5 kg que salen despedidos horizontalmente, llegando al suelo al mismo tiempo. El fragmento de 0,5 kg cae a 20 m del punto de lanzamiento. Hallar:

a)  La velocidad del proyectil cuando explota.

b)  A qué distancia del punto de lanzamiento cae el segundo fragmento.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; v0 = 100 m/s; y1 = 200 m; m1 = 0,5 kg; m2 = 1,5 kg; x1 = 20 m

Trayectorias del proyectil y de los fragmentos.

a)  Ecuaciones del movimiento del proyectil:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

De la ecuación de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la ecuación de posición (y):

g t = v0 – v → t = (v0 – v)/g

y1 = v0 [(v0 – v)/g] – (1/2) g [(v0 – v)/g]2

y1 = v0 [(v0 – v)/g] – [(v0 – v)2/2g]

y1 = 2v0 [(v0 – v)/2g] – [(v0 – v)2/2g]

y1 = (2v02 – 2v0 v – v02 + 2v0 v – v2)/2g

y1 = (v02 – v2)/2g

2y1 g = v02 – v2

v2 = v02 – 2y1 g

b)  Ecuaciones del movimiento del fragmento 2:

v2,x = v2                 v2,y = –g t2

x2 = v2,x t2 = v2 t2              y2 = y1 – (1/2) g t22 

No hay ángulo de tiro porque la velocidad inicial cae toda sobre el eje X.

Cuando el fragmento m2 llega al suelo y2 = 0, luego:

0 = y1 – (1/2) g t22 → (1/2) g t22 = y1  

Para poder resolver el problema necesitamos saber el valor de v2, para lo cual utilizaremos el principio de conservación del momento lineal:

Aunque el sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior), ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva.

P = P’

El proyectil moviéndose verticalmente con velocidad v, explota rompiéndose en dos fragmentos, por tanto:

P =m (0 i + v j) = 0 i + m v j

Los fragmentos se mueven  horizontalmente con velocidad v1 y v2, luego:

P’ = m1 (–v1 i + 0 j) + m2 (v2 i + 0 j) = (–m1 v1 + m2 v2) i + 0 j

Por tanto:

0 i + m v j = (–m1 v1 + m2 v2) i + 0 j

Luego:

m2 v2 – m1 v1 = 0 → m2 v2 = m1 v1 → v2 = (m1/m2) v1

Sustituyendo en la expresión de x2:

Ahora, necesitamos conocer el valor de v1.

Ecuaciones del movimiento del fragmento m1:

v1,x = –v1                v1,y = –g t1

x1 = v1,x t1 = –v1 t1            y1’ = y1 – (1/2) g t12 

No hay ángulo de tiro porque la velocidad inicial cae toda sobre el eje X.

Cuando el fragmento m1 llega al suelo y1’ = 0, luego:

0 = y1 – (1/2) g t12 → (1/2) g t12 = y1  

 

 

Conservación del momento lineal 15

 

Un cohete que se desplaza en línea recta y con velocidad uniforme de 2000 km/h, sufre una explosión dividiéndose en dos partes; una de ellas, 2/5 de la masa total se mueve formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal y con velocidad de 1000 km/h. Determina:

a)  La velocidad y dirección del segundo fragmento

b)  La velocidad del centro de masas después de la explosión

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: v1 = 2000 km/h = 556 m/s; m1 = m; v2 = 1000 km/h = 278 m/s; m2 = (2/5) m; α = 30º

a)  Antes de la explosión:

Momento lineal antes de la explosión:

P = m1 v1 = m1 v1 i + 0 j

Después de la explosión:

La dirección del segundo fragmento se ha supuesto.

Momento lineal después de la explosión:

P’ = m2 v2 + m3 v3 = m2 (v2 cos α i + v2 sen α j) + m3 v3

Conservación del momento lineal:

El sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior). Pero ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva.

P = P’

m1 v1 i + 0 j = m2 (v2 cos α i + v2 sen α j) + m3 v3

m v1 i + 0 j = (2/5) m (v2 cos α i + v2 sen α j) + (3/5) m v3

v1 i + 0 j = (2/5) (v2 cos α i + v2 sen α j) + (3/5) v3

(3/5) v3 = v1 i + 0 j – (2/5) (v2 cos α i + v2 sen α j)

v3 = (5/3) v1 i + 0 j – (2/3) (v2 cos α i + v2 sen α j)

v3 = [(5/3) v1 – (2/3) v2 cos α] i – (2/3) v2 sen α j

v3 = [(5/3)·556 (m/s) – (2/3)·278(m/s)·cos 30º] i – (2/3)·278 (m/s)·sen 30º j

v3 = 766 i – 93 j m/s

Módulo:

Dirección (α’):

tg α’ = –93/766 → α = arc tg (–93/776) = –6,9º  

b)   

vcdm = Σmi vi/M

vcdm = [(2/5) m (278·cos 30º i + 278·sen 30º j) + (3/5) m (766 i – 93 j)]/m

vcdm = (2/5)·(278·cos 30º i + 278·sen 30º j) + (3/5)·(766 i – 93 j)

vcdm = [(2/5)·278·cos 30º + (3/5)·766] i + [(2/5)·278·sen 30º – (3/5)·93] j)

vcdm = 556 i + 0 j m/s

Módulo:

vcdm = 556 m/s

La velocidad del centro de masas después de la explosión es la misma que la del cohete si no hubiera explotado, porque no hay fuerzas exteriores que modifiquen el centro de masas.

 

 

Conservación del momento lineal 14

 

Un cuerpo de masa 2 kg se mueve sobre una mesa horizontal con velocidad v = 15 i m s–1 y, al llegar al borde de la mesa, explota dividiéndose en dos fragmentos de igual masa. Tras la explosión, uno de los fragmentos se mueve en un plano vertical con velocidad v1 = 10 i + 3 j m s–1. Calcula:

a)  Velocidad del segundo fragmento inmediatamente después de la explosión.

b)  Posición del centro de masas formado por los dos fragmentos, respecto del punto de la explosión, 0,2 s después de ésta.

Toma g = 10 m/s2

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; v = 15 i m s–1; m1 = 1 kg; m2 = 1 kg; v1 = 10 i + 3 j m s–1

a)     

La dirección del segundo fragmento se ha supuesto.

Momento lineal antes de la explosión:

P = m v = m v i + 0 j

Momento lineal después de la explosión:

P’ = m1 v1 + m2 v2 = m1 (v1,x i – v1,y j) + m2 (v2,x i – v2,y j)

P’ = (m1 v1,x + m2 v2,x) i + (m1 v1,y – m2 v2,y) j

Conservación del momento lineal:

El sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior). Pero ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva.

P = P’

m v = m1 v1,x + m2 v2,x

0 = m1 v1,y – m2 v2,y

De las anteriores ecuaciones tenemos que:

m2 v2,x = m v – m1 v1,x

v2,x = (m v – m1 v1,x)/m2

v2,x = [2 kg·(15 m/s) – 1 kg·(10 m/s)/1 kg

v2,x = 20 m/s

m2 v2,y = m1 v1,y

v2,y = m1 v1,y/m2

v2,y = 1 kg·(3 m/s)/1 kg

v2,y = 3 m/s

v2 = 20 i – 3 j m s–1

b)  Dato: t = 0,2 s 

El centro de masas se comporta como si no hubiera habido explosión.

Tiro horizontal:

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0                            vy = –g t

x = v0 t        y = –(1/2) g t2

x = (15 m/s)·0,2 s = 3 m

y = –(1/2)·(10 m/s2)·(0,2 s)2 = –0,2 m

El c.d.m se encuentra en el punto (3, –0,2) m.

 

 

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo