El Sapo Sabio

Archivo de marzo de 2018

 

¿Cuál ha de ser la velocidad angular del montaje de la figura para que la tensión en la cuerda superior sea de 15 kgf? ¿Cuál será entonces la de la cuerda inferior? Expresa la velocidad angular en vueltas por minuto.

 

 

Solución:

Datos: L₁ = L₂ = 1,5 m; m = 5 kg; h = 2,4 m; T₁ = 15 kgf (kp) = 147 N

Fuerzas:

Descomposición 1:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Descomposición 2:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Aplicación:

Según la figura:

T₁ cos φ = T₂ cos φ + m g → T₂ cos φ = T₁ cos φ – m g

T₂ = T₁ – m g/cos φ

T₁ sen φ + T₂ sen φ = m a_n → T₁ sen φ + T₂ sen φ = m v²/R

T₁ sen φ + T₂ sen φ = m (ω R)²/R → T₁ sen φ + T₂ sen φ = m ω² R

Radio de la curva:

R = L sen φ

Sustituyendo en la última expresión tenemos que:

T₁ sen φ + T₂ sen φ = m ω² L sen φ → T₁ + T₂ = m ω² L 

Pero, según hemos visto anteriormente:

T₂ = T₁ – m g/cos φ

Luego:

T₁ + (T₁ – m g/cos φ) = m ω² L 

2 T₁ –  (m g/cos φ) = m ω² L

 

Ángulo φ:

cos φ = 1,2/1,5

ω = (4,04 rad/s)·(v/2πr·(60s/min) = 38,6 v/min

Dimensionalmente:

 

Tensión en la segunda cuerda:

T₂ = 147 N – [8 kg·(9,8 m/s²)·1,5 m]/1,2 m

T₂ = 147 N – [117,6 kg·(m/s²)·m/1,2 m] = 147 N – 98 N = 49 N

 

 

 

 

Un cuerpo atado de un hilo de longitud L = 0,3 m describe el mismo movimiento que un péndulo cónico con  una trayectoria circular de radio R = 15 cm ¿Cuántas vueltas describe por minuto?

 

 

Solución:

Datos: L = 0,55 m; R = 0,15 m; t = 1 min; θ₀ = 0

Ecuación del movimiento circular:

θ = θ₀ + ω t → θ = 0 + ω t

θ = ω t

Fuerzas que actúan sobre la bola:

Descomposición de las mismas:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Según la anterior figura:

T sen φ = m a_N → T sen φ = m (v²/R)

T cos φ – P = 0 → T cos φ = m g

Dividiendo miembro a miembro el sistema de ecuaciones hallado, tenemos que:

T sen φ/T cos φ = m (v²/R)/m g

sen φ/cos φ = (v²/R)/g

tg φ = v²/R g

De la relación entre las magnitudes angulares y lineales tenemos que:

v = ω R → tg φ = (ω R)²/R g = ω² R/g

ω² = g tg φ/R

Según la figura:

θ = (6,2 rad/s)·60 s = 372 rad·(vuelta/2π rad) = 59 vueltas 

 

 

 

 

En muchos parques de atracciones encontramos un juego llamado rotor. Una persona entra al rotor, cierra la puerta y se pone contra la pared. El rotor gradualmente va aumentando su velocidad de rotación a partir del punto de reposo hasta que, a una velocidad predeterminada, el piso bajo la persona se abre hacia abajo. El pasajero no cae sino que permanece “prendido” contra la pared del rotor. Encontrar el coeficiente de rozamiento necesario para impedir la caída.

 

 

Solución:

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N → μ = F_r/N

Fuerzas que intervienen:

Según la figura:

F_r = m g

N = m a_n = m v²/R

Sustituyendo las dos anteriores expresiones en la del coeficiente de rozamiento, tenemos que:

μ = m g/(m v²/R)

μ = R g/v²