Archivo de febrero de 2018

Dinámica del movimiento circular 09

 

El péndulo de la figura rota en un plano horizontal, sobre la superficie lisa de un cono de ángulo φ, con velocidad ω.

a)   Calcula la tensión de la cuerda y la reacción normal de la superficie.

b)  ¿Para qué velocidad se despegará el péndulo de la superficie?

 

 

Solución:

a)  Fuerzas que intervienen:

Descomposición 1:

Las líneas del mismo color son paralelas y por tanto delimitan ángulos iguales.

Descomposición 2:

Las líneas del mismo color son perpendiculares y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura:

T cos φ + N sen φ = m g T = (m g – N sen φ)/cos φ

T sen φ – N cos φ = m an T sen φ – N cos φ = m (v2/R)

T sen φ – N cos φ = m (ω R)2/R → T sen φ – N cos φ = m ω2 R

Radio de la curva:

R = L sen φ

T sen φ – N cos φ = m ω2 L sen φ

Sustituyendo la expresión de T hallada en la primera ecuación tenemos que:

[(m g – N sen φ)/cos φ] sen φ – N cos φ = m ω2 L sen φ

m g sen φ – N sen2 φ – N cos2 φ = m ω2 L sen φ cos φ

m g sen φ – N (sen2 φ + cos2 φ) = m ω2 L sen φ cos φ

m g sen φ – N = m ω2 L sen φ cos φ

N = m g sen φ – m ω2 L sen φ cos φ

N = m sen φ (g – ω2 L cos φ)

T = {m g – [m sen φ (g – ω2 L cos φ)] sen φ}/cos φ

T = [m g – (m g sen2 φ – m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = [(m g – m g sen2 φ + m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = [m g (1 – sen2 φ) + m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = (m g cos2 φ + m ω2 L cos φ sen2 φ)/cos φ

T = m g cos φ + m ω2 L sen2 φ

T = m [g cos φ + L (ω sen φ)2]

b)  La reacción normal de la superficie del cono, calculada en el apartado anterior es:

N = m sen φ (g – ω2 L cos φ)

Se puede ver que hay valores de ω que hacen la normal negativa. Una normal negativa indica una situación que no puede darse, ya que con esa velocidad la piedra no podrá girar tocando el cono sino que despegará. En el caso crítico la velocidad de giro es tal que la normal vale cero.

m sen φ (g – ω2 L cos φ) = 0

g – ω2 L cos φ = 0

ω2 L cos φ = g

ω2 = g/L cos φ

Para velocidades mayores que ésta, el péndulo no tocará la superficie.

 

 

 

Dinámica del movimiento circular 08

 

El bloque de la figura está unido a una barra vertical mediante dos cuerdas de igual longitud que se tensan al girar el sistema alrededor de la barra. Determina la velocidad de rotación necesaria, para que la tensión de la cuerda superior sea 100 N ¿Cuánto valdrá la tensión de la otra cuerda?

 

 

Solución:

Datos: L1 = L2 = 1,5 m; m = 5 kg; h = 2,5 m; T1 = 100 N

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

Descomposición 1:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Descomposición 2:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Aplicación:

Según la figura:

T1 cos φ = T2 cos φ + m g → T2 cos φ = T1 cos φ – m g

T2 = T1 – m g/cos φ

T1 sen φ + T2 sen φ = m an T1 sen φ + T2 sen φ = m v2/R

T1 sen φ + T2 sen φ = m (ω R)2/R → T1 sen φ + T2 sen φ = m ω2 R

Radio de la curva:

R = L sen φ

Sustituyendo en la última expresión tenemos que:

T1 sen φ + T2 sen φ = m ω2 L sen φ → T1 + T2 = m ω2 L 

Pero, según hemos visto anteriormente:

T2 = T1 – m g/cos φ

Luego:

T1 + (T1 – m g/cos φ) = m ω2 L 

2 T1  (m g/cos φ) = m ω2 L

Ángulo φ:

cos φ = 1,25/1,5

Dimensionalmente:

 

Tensión en la segunda cuerda:

T2 = 100 N – [5 kg·(9,8 m/s2)·1,5 m]/1,25 m

T2 = 100 N – [73,5 kg·(m/s2)·m/1,25 m] = 100 N – 58,8 N = 41,2 N

 

 

 

Dinámica del movimiento circular 07

 

El péndulo cónico de la figura, rota en un plano horizontal con velocidad ω. Determina la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la vertical.

 

 

Solución:

Fuerzas que actúan sobre el péndulo y descomposición de las mismas:

 

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Aplicación:

T sen φ = m an = m v2/R = m (ω R)2/R

T sen φ = m ω2 R

sen φ = R/L T (R/L) = m ω2 R

T = m ω2 L

Por otra parte tenemos que:

T cos φ = m g

m ω2 L cos φ = m g → ω2 L cos φ = g

cos φ = g/ω2 L

 

 

 

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