Archivo de enero de 2018

Cuerpos en contacto 05

 

Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda.

Coeficiente de rozamiento entre bloques: μ’

Coeficiente de rozamiento entre bloque 2 y superficie: μ

 

 

Solución:

Como los bloques tienen aceleraciones diferentes, ya que el bloque 1 permanecerá quieto y el bloque 2 se moverá hacia la derecha, no sirve de nada utilizar el c. d. m. Por tanto hay que estudiar los bloques por separado.

Antes de realizar este problema estudiaremos el sentido de la fuerza de rozamiento entre los bloques.

Supongamos que no hubiera rozamiento entre los bloques.

Sistema en reposo:

Sistema en movimiento:

Al moverse el bloque 2 hacia la derecha, el bloque 1 no será arrastrado y seguirá en reposo respecto al suelo (Observa las marcas rojas)

El bloque 2 se ha movido hacia la derecha respecto al bloque 1. Si hubiera rozamiento este se opondría a dicho movimiento, la fuerza de rozamiento sobre el bloque 2, Fr2,1, irá hacia la izquierda.

Visto de otra forma, el bloque 1 se ha movido hacia la izquierda respecto al bloque 2. Si hubiera rozamiento este se opondría a dicho movimiento, la fuerza de rozamiento sobre el bloque 1, Fr1,2, irá hacia la derecha.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:

Fuerzas normales:

N2 – m1 g – m2 g = 0 → N2 = m1 g + m2 g = (m1 + m2) g

Siendo N2 la reacción de la superficie.

Fuerzas tangenciales:

La fuerza F intentará mover al bloque 2 hacia la derecha y como existe rozamiento entre ambos bloques y entre el bloque 2 y la superficie, aparecerán dos fuerzas de rozamiento:

La fuerza Fr2,1 (fuerza de rozamiento del bloque 2 con el 1) y la fuerza Fr2 (fuerza de rozamiento del bloque 2 con la superficie), luego:

F – Fr2 – Fr2,1 = m2 a → F – μ N2 – Fr2,1 = m2 a

F – μ (m1 + m2) – Fr2,1 = m2 a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Fuerzas normales:

N1 – m1 g = 0 → N1 = m1 g

Siendo N1 la reacción del bloque 2 correspondiente al peso del bloque 1.

Fuerzas tangenciales:

Fr1,2 – T = 0 T = Fr1,2

Las fuerzas Fr1,2 (fuerza de rozamiento del bloque 1 con el 2) y Fr2,1 (fuerza de rozamiento del bloque 2 con el 1) son fuerzas de contacto, teniendo el mismo módulo la misma dirección pero sentidos opuestos (acción y reacción).

Por tanto:

Fr1,2 = Fr2,1 = μ’ N1 = μ’ m1 g

Luego tenemos que:

T = μ’ m1 g

y del bloque 2:

F – μ (m1 + m2) – μ’ m1 g = m2 a

Despejando la aceleración tenemos que:

a = [F – μ (m1 + m2) g – μ’ m1 g]/m2 =

= (F – μ m1 g – μ m2 g – μ’ m1 g)/m2 =

= [F – μ (m1 + m2) g – μ’ m1 g]/m2 =

= [F – μ (m1 + m2) – μ’ m1] g/m2

 

 

 

Cuerpos en contacto 04

 

En el sistema de la figura, los bloques tienen igual masa m = 5 kg y la fuerza aplicada es F = 30 N. Determina la aceleración de los bloques.

Coeficiente de rozamiento entre bloques: μ’ = 0,1.

Coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie: μ = 0,2

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m = 5 kg; F = 30 N; μ’ = 0,1; μ = 0,2

Primer caso: supongamos que los bloques se mueven manteniéndose unidos.

La aceleración de los bloques será hacia la derecha, ya que la única fuerza útil es la fuerza F que se ejerce sobre el bloque 2 y aplicada en el c. d. m produce una aceleración hacia la derecha.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2.

Fuerzas normales:

N1,2 – m2 g = 0 → N1,2 = m2 g

Siendo N1,2 la reacción del bloque 1 correspondiente al peso del bloque 2.

Fuerzas tangenciales:

F – Fr,2 = m2 a

El bloque 2 se mueve hacia la derecha con respecto al 1 y como existe rozamiento entre ambos bloques, aparecerá una fuerza de rozamiento que se opondrá a este movimiento.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Fuerzas normales:

N1 – m1 g – m2 g = 0 → N1 = m1 g + m2 g

Fuerzas tangenciales:

Fr,1 – F’r,1 = m1 a

Siendo Fr,1 la fuerza de reacción correspondiente a Fr,2 (acción y reacción). Ambas tienen el mismo módulo, es decir, Fr,1 = Fr,2 = Fr, cuyo valor está por determinar porque no hay movimiento relativo entre los bloques y F’r,1 = F’r la fuerza de rozamiento entre la superficie y el bloque 1.

Ambos bloques van juntos luego tienen la misma aceleración.

De todo lo anterior se obtiene el siguiente sistema:

F – Fr = m a

Fr – F’r = m a

Ahora despejamos Fr de la primera ecuación y sustituiremos en al segunda:

Fr = F – m a → F – m a – F’r = m a

F – F’r = m a + m a = 2 m a

a = (F – F’r)/2 m = (F – μ N1)/2 m = [F – μ (m g + m g)]/2 m

a = (F – 2 μ m g)/2 m

Fr = F – [m (F – 2 μ m g)/2 m] = F – [(F – 2 μ m g)/2]

Fr = F – (F/2) + μ m g = (1/2) F + μ m g

a = [30 N – 2·0,2·5 kg·(9,8 m/s2)]/2·5 kg = 1,04 m/s2

Fr = (1/2)·30 N – 0,2·5 kg·(9,8 m/s2) = 5,2 N

Para que los bloques permanezcan unidos la fuerza de rozamiento entre ellos ha de ser igual a 5,2 N, luego debemos averiguar si esto es posible.

Fr (máxima) = μ’ N1,2 = μ’ m2 g = 0,1·5 kg·(9,8 m/s2) = 4,9 N

Como la fuerza de rozamiento entre ambos bloques no es suficientemente grande para que permanezcan unidos, los bloques se moverán y, por lo tanto, hay que repetir el problema suponiendo que se mueven por separado.

En este segundo caso los bloques se mueven con aceleraciones diferentes luego no sirve para nada utilizar el c. d. m y hay que estudiar los bloques por separado.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2.

Fuerzas normales:

N1,2 – m2 g = 0 → N1,2 = m2 g = m g 

Siendo N1,2 la reacción del bloque 1 correspondiente al peso del bloque 2.

Fuerzas tangenciales:

F – Fr,2 = m2 a2 = m a2

El bloque 2 se mueve hacia la derecha con respecto al 1 y como existe rozamiento entre ambos bloques, aparecerá una fuerza de rozamiento que se opondrá a este movimiento.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Fuerzas normales:

N1 – m1 g – m2 g = 0 → N1 = m1 g + m2 g = 2 m g

Fuerzas tangenciales:

Fr,1 – F’r,1 = m1 a1 = m a1

Siendo Fr,1 la fuerza de reacción correspondiente a Fr,2 (acción y reacción). Ambas tienen el mismo módulo, es decir, Fr,1 = Fr,2 = Fr y F’r,1 = F’r la fuerza de rozamiento entre la superficie y el bloque 1.

De todo lo anterior se tiene que:

a2 = (F – Fr)/m = (F – μ’ N1,2)/m = (F – μ’ m g)/m

a1 = (Fr – F’r)/m = (μ’ m g – μ N1)/m = (μ’ m g – μ 2 m g)/m = (μ’ – 2 μ) g

a2 = [30 N – 0,1·5 kg·(9,8 m/s2)]/5 kg = 5,02 m/s2

a1 = (0,1 – 2·0,2)·(9,8 m/s2) = –2,94 m/s2

La aceleración negativa del bloque 1 indica que éste no se mueve porque lo sujeta el rozamiento con el suelo, por tanto a1 = 0.

Únicamente se moverá el bloque 2.

 

 

 

Dos planos inclinados 05

 

Dos masas de m1 y m2 están atadas a los extremos de un hilo y descansan sobre sendos planos inclinados como se muestra en la figura. Si los coeficientes de rozamiento de cada bloque con su respectivo plano son μ1 y μ2, calcula la aceleración del sistema y la tensión del hilo cuando se dejen en libertad.

Datos:

Bloque 1: m1 = 5 kg, α = 30º, μ1 = 0,1. Bloque 2: m2 = 10 kg, β = 45º, μ2 = 0,2

Tomad g = 10 m/s2

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g sen α = 5 kg·(10 m/s2)· sen 30º = 25 N

T2 = m2 g sen β = 10 kg·(10 m/s2)·sen 45º = 70,7 N

Como T2 > T1, al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.  

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N1 – P1 cos α N1 = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P1 sen α – Fr,1 = m1 a  T – m1 g sen α – Fr,1 = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,1 = μ1 N1 = μ1 m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

T – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N2 – P2 cos β = 0 N2 = m2 g cos β

Fuerzas tangenciales:

P2 sen β – Fr,2 – T = m2 a m2 g sen β – Fr,2 – T = m2 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,2 = μ2 N2 = μ2 m2 g cos β

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – T = m2 a

Ahora despejaremos la tensión (T) en última expresión del bloque 1 y sustituiremos en la del bloque 2.

T = m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – (m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a) = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α – m1 a = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a + m2 a

(sen β – μ2 cos β) m2 g – (sen α + μ1 cos α) m1 g = (m1 + m2) a

a = [(sen β – μ2 cos β) m2 – (sen α + μ1 cos α) m1] g /(m1 + m2)

a = [(sen 45º – 0,2 cos 45º)·10 kg – (sen 30º + 0,1·cos 30º)·5 kg]·(10 m/s2)/(5 + 10) kg

a = 1,8 m/s2

Para hallar la tensión sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las expresiones de las fuerzas tangenciales, por ejemplo en la del bloque 1.

T = [(sen α + μ1 cos α) g + a] m1

T = [(sen 30º + 0,1·cos 30º)·10 m/s2 + 1,8 m/s2]· 5 kg = 38,3 N

 

 

 

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Comentarios recientes
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo