El Sapo Sabio

Archivo de diciembre de 2017

 

Un cuerpo lanzado con una velocidad inicial v₀ a lo largo de un plano se para después de recorrer 6 m si el plano está inclinado 60º respecto a la horizontal, y después de recorrer 20 m si el plano está horizontal. Calcula v₀ y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

 

 

Solución:

Datos: α = 60º → x₁ = 6 m; α’ = 0º → x₂ = 20 m. En ambos casos v = 0

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ – a t             x = v₀ t – (1/2) a t²

De la ecuación de velocidad tenemos que:

0 = v₀ – a t → a t = v₀ → t = v₀/a

Sustituyendo en la ecuación de posición:

x = v₀(v₀/a) – (1/2) a (v₀/a)²

x = (v₀²/a) – (v₀²/2 a)= v₀²/2 a

v₀² = 2 a x

Para poder resolver este problema necesitamos conocer el valor de la aceleración en ambos casos, pues el valor de x₁ y x₂ sí lo sabemos.

Primer caso. Plano inclinado:

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α + F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α + μ m g cos α = m a

 g sen α + μ g cos α = a

a = g (sen α + μ cos α)

Pero ahora nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Segundo caso. Plano horizontal:

Fuerzas que intervienen:

Fuerzas normales:

N’ – m g = 0 → N’ = mg

Fuerzas tangenciales:

F’_r = m a’

Fuerza de rozamiento:

F’_r = μ N’ = μ m g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

μ m g = m a’ → a’ = μ g

Pero ahora, también nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Veamos las ecuaciones que tenemos  y si se pueden resolver.

a = g (sen α + μ cos α)

a’ = μ g

         De las expresiones de las velocidades iniciales tenemos que:

2x₁ a = 2x₂ a’ → x₁ a = x₂ a’

x₁ g (sen α + μ cos α) = x₂ μ g

x₁ (sen α + μ cos α) = x₂ μ

x₁ sen α + x₁ μ cos α = x₂ μ

x₁ sen α = x₂ μ – x₁ μ cos α

(x₂ – x₁ cos α) μ = x₁ sen α

μ = x₁ sen α/(x₂ – x₁ cos α)

μ = 6 m·sen 60º/(20 m – 6 m cos 60º) = 0,3

 

 

 

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Se suponen lisas las superficies.

Datos: m₁ = 1 kg, m₂ = 10 kg, α = 30º

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 1 kg; m₂ = 10 kg; α = 30º

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T₁ = P₁ = m₁ g sen α

Como el bloque 2 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T₂ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza T₁, luego al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El bloque 1 bajará y el bloque 2 se moverá hacia la izquierda, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N₁ – P₁ cos α = 0

Al no haber rozamiento las fuerzas normales no se tienen en cuenta para la resolución del problema.

Fuerzas tangenciales:

P₁ sen α – T = m₁ a → m₁ g sen α – T = m₁ a

T = m₁ g sen α – m₁ a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:

Fuerzas normales:

N₂ – P₂ = 0

Como ya se ha dicho, al no haber rozamiento las fuerzas normales no se tienen en cuenta para la resolución del problema.

Fuerzas tangenciales:

T = m₂ a

Como las tensiones son iguales:

m₁ g sen α – m₁ a = m₂ a

m₁ g sen α = m₁ a + m₂ a

(m₁ + m₂) a = m₁ g sen α

a = m₁ g sen α/(m₁ + m₂)

a = 1 kg·(9,8 m/s²)·sen 30º/(1 + 10) kg

a = 0,45 m/s²

Tensión de la cuerda:

T = 10 kg·(0,45 m/s²) = 4,5 N

 

 

 

En el diagrama de la figura determinar:

a)  Sentido del movimiento.

b)  Aceleración.

c)  Tensión de las cuerdas.

Datos: m₁ = 4 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 5 kg, μ = 0,2

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 4 kg; m₂ = 3 kg; m₃ = 5 kg; μ = 0,2

En los datos del problema no se dice nada sobre las poleas, por tanto se debe entender que sus masas son despreciables, luego no se tendrá en cuenta la rotación de las mismas y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

a)  Sentido del movimiento:

Si no hubiera rozamiento las fuerzas que intervienen en el sistema son:

P₁ = m₁ g = 4 kg·(9,8 m/s²) = 39,2 N

P₂ = m₂ g sen α = 3 kg· (9,8 m/s²)·sen 30º = 14,7 N

P₃ = m₃ g = 5 kg·(9,8 m/s²) = 49 N

ya que la tensiones se anulan entre si.

Como se puede comprobar, P₁ + P₂ > P₃, luego el sistema no puede moverse hacia la derecha, por tanto debe moverse hacia la izquierda, pero no hemos tenido en cuenta la fuerza de rozamiento, por lo que tendremos que averiguar su valor.

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N

Fuerzas normales:

N = m₂ g cos α

F_r = μ m₂ g cos α = 0,2·3 kg·(9,8 m/s²)·cos 30º = 5,1 N

El sistema no se mueve hacia la izquierda ya que P₁ + P₂ – P₃ < F_r, por tanto se encuentra en reposo.

b)  Como el sistema está parado la aceleración es igual a cero.

c)  Tensiones de las cuerdas:

Según hemos visto en los anteriores apartados:

En el bloque 1:

T₁ = P₁ = 39,2 N

En el bloque 3:

T₃ = P₃ = 49 N