El Sapo Sabio

Archivo de noviembre de 2017

 

Las masas A, B y C están enlazadas por cuerdas de masa despreciable. Entre las A y B y la mesa hay rozamiento cuyo coeficiente dinámico vale μ = 0,1.

a)  ¿Cuál ha de ser el valor de m_C para que el conjunto se mueva con velocidad constante? ¿Cuánto valdrá la tensión de las cuerdas?

b)  ¿Cuánto valdrá la aceleración de las masas y la tensión de las cuerdas si m_C = 2 kg?

Datos: m_A = 5 kg, m_C = 10 kg, g = 10 kg/s²

 

 

Solución:

Datos: μ = 0,1; m_A = 5 kg; m_C = 10 kg; g = 10 kg/s²

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la misma y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.    

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Como las masas A, B y C no están sujetas a ninguna fuerza útil:

T₁ = 0 y T₂ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T₃ = m_C g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

Las masas A y B se moverán hacia la derecha y la masa C bajará, ambas con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

a)  Como la velocidad ha de ser constante la aceleración es igual a cero.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Fuerzas normales:

N_A – m_A g = 0 → N_A = m_A g

Fuerzas tangenciales:

T₁ – F_r,A = m_A a → T₁ – F_r,A = 0

Fuerza de rozamiento:

F_r,A = μ N_A = μ m_A g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T₁ – μ m_A g = 0

Fuerzas normales:

N_B – m_B g = 0 → N_B = m_B g

Fuerzas tangenciales:

T₂ – T₁ – F_r,B = m_B a → T₂ – T₁ – F_r,B = 0

Fuerza de rozamiento:

F_r,B = μ N_B = μ m_B g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T₂ – T₁ – μ m_B g = 0

m_c g – T₂ = m_c a → m_c g – T₂ = 0

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T₁ – μ m_A g = 0 → T₁ = μ m_A g

T₂ – T₁ – μ m_B g = 0

m_C g – T₂ = 0 → T₂ = m_C g

Sustituyendo los valores de T₁ y T₂ en la segunda ecuación, tenemos que:

m_C g – μ m_A g – μ m_B g = 0

m_C g = μ m_A g + μ m_B g

m_C = μ m_A + μ m_B

m_C = μ (m_A + m_B)

m_C = 0,1·(5 kg + 10 kg) = 1,5 kg

Tensión de las cuerdas:

T₁ = 0,1·5 kg·10 (m/s²) = 5 N

T₂ = 1,5 kg·10 (m/s²) = 15 N

b)  Dato: m_C = 2 kg

Del apartado anterior tenemos que:

T₁ – μ m_A g = m_A a → T₁ = μ m_A g + m_A a

T₂ – T₁ – μ m_B g = m_B a

m_C g – T₂ = m_C a → T₂ = m_C g – m_C a

Sustituyendo los valores de T₁ y T₂ en la segunda ecuación, tenemos que:

m_C g – m_C a – μ m_A g – m_A a – μ m_B g = m_B a

m_C g – μ m_A g – μ m_B g = m_B a + m_C a + m_A a

(m_C – μ m_A – μ m_B) g = (m_B + m_C + m_A) a

a = [(m_C – μ m_A – μ m_B) g]/(m_B + m_C + m_A)

a = [(2 kg – 0,1·5 kg – 0,1·10 kg)·10 (m/s²)]/(10 kg + 2 kg + 5 kg)

a = 0,29 m/s²

T₁ = (μ g + a) m_A = [0,1·(10 m/s²) + (0,29 m/s²)]·5 kg = 6,45 N

T₂ = m_C (g – a) = 2 kg·[(10 m/s²) – (0,29 m/s²)] = 19,42 N

Si el resultado de la aceleración hubiera sido negativo, significaría que el rozamiento de las masas A y B impiden el movimiento.

 

 

 

 

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda, si m₁ = 30 kg, m₂ = 5 kg y μ = 0,1. Repite los cálculos tomando μ = 0,2.

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 30 kg, m₂ = 5 kg

Para resolver este problema no se tendrá en cuenta la rotación de la polea, ya que el enunciado del mismo no dice nada sobre los datos de la polea y, por tanto, se considerará que su masa es despreciable, luego únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T₁ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T₂ = P₂ = m₂ g

luego al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Nota:

Fuerzas útiles son las que actúan a favor del movimiento, luego las fuerzas internas y las de rozamiento no se consideran útiles.

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – P₁ = 0 → N = m₁ g

Fuerzas tangenciales:

T – F_r = m₁ a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m₁ g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m₁ g = m₁ a

Bloque 2:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P₂ = m₂ a → –T + m₂ g = m₂ a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = μ m₁ g + m₁ a

T = m₂ g – m₂ a

de donde:

μ m₁ g + m₁ a = m₂ g – m₂ a

m₁ a + m₂ a = m₂ g – μ m₁ g

(m₁ + m₂) a = (m₂ – μ m₁) g

a = (m₂ – μ m₁) g/(m₁ + m₂)

T = m₂ g – m₂ [(m₂ – μ m₁) g/(m₁ + m₂)]

T = m₂ g {1 – [(m₂ – μ m₁)/(m₁ + m₂)]}

T = m₂ g {[(m₁ + m₂) – (m₂ – μ m₁)]/(m₁ + m₂)}

T = [m₂ g (m₁ + m₂ – m₂ + μ m₁)]/(m₁ + m₂)

T = [m₂ g (m₁ + μ m₁)]/(m₁ + m₂)

T = [m₁ m₂ g (1+ μ)]/(m₁ + m₂)

Si μ = 0,1:

a = (5 kg – 0,1·30 kg)·(9,8 m/s²)/(30 kg + 5 kg)

a = 0,56 m/s²

T = [30 kg·5 kg·(9,8 m/s²)·(1 + 0,1)]/(30 kg + 5 kg)

T = 46,2 N

Si μ = 0,2:

a = (5 kg – 0,2·30 kg)·(9,8 m/s²)/(30 kg + 5 kg)

a = – 0,28 m/s²

El signo negativo indica que el sistema se traslada hacia la izquierda, es decir, que el bloque que cuelga de la polea sube, cosa que es imposible porque no hay ninguna fuerza que tire hacia la izquierda, por tanto el sistema está parado.

Lo que ocurre es que P₂ no es suficientemente grande para vencer el rozamiento que existe entre P₁ y el plano.

En este caso:

T = 5 kg·(9,8 m/s²) = 49 N

Mientras que:

F_r = 0,2·30 kg·(9,8 m/s²) = 58,8 N

 

 

 

 

Sobre una plataforma horizontal se tiene un cuerpo de 100 kg, que se encuentra unido a otro de 300 kg, estando este último suspendido por medio de una cuerda, inextensible y sin peso, que desliza por la garganta de una polea colocada al borde de la plataforma horizontal. Calcula:

a)  La aceleración del sistema.

b)  La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano para que la aceleración se reduzca a la mitad.

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 100 kg; m₂ = 300 kg

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Como el bloque 1 no está sujeto a ninguna fuerza útil:

T₁ = 0

La polea únicamente está sometida a la fuerza:

T₂ = P₂ = m₂ g

luego, al dejar el sistema en libertad esta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

a)  Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – P₁ = 0 → N = m₁ g

Fuerzas tangenciales:

T = m₁ a

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P₂ = m₂ a → –T + m₂ g = m₂ a

De todo lo anterior tenemos que:

–m₁ a + m₂ g = m₂ a

m₁ a + m₂ a = m₂ g

(m₁ + m₂) a = m₂ g

a = m₂ g/(m₁ + m₂)

a = 300 kg·(9,8 m/s²)/(100 + 300 kg) = 7,35 m/s²

b)  Si al primer cuerpo le añadimos una masa m para que la aceleración se reduzca a la mitad, las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior quedan de la siguiente forma:

T = (m₁ + m) a/2

–T + m₂ g = m₂ a/2

luego:

–[(m₁ + m) a/2] + m₂ g = m₂ a/2

–[(m₁ + m) a] + 2 m₂ g = m₂ a

–m₁ a – m a + 2 m₂ g = m₂ a

m a = –m₁ a + 2 m₂ g – m₂ a

m = (–m₁ a + 2 m₂ g – m₂ a)/a

m = [–100 kg·(7,35 m/s²) + 2·300 kg·(9,8 m/s²) – 300 kg·(7,35 m/s²)]/(7,35 m/s²)

m = 400 kg

La sobrecarga que hay que añadir al cuerpo que desliza sobre el plano es 400 kg