Archivo de noviembre de 2017

Plano inclinado y polea 06

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 06,1

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Datos: m1 = m2 = 2 kg, α = 20º y μ = 0,1

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = 2 kg; α = 20º; μ = 0,1

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,2

Según la figura:

T1 = P1 sen α = m1 g sen α

T2 = P2 = m2 g

Como T2 > T1 (ya que 0 < sen α < 1 y m1 = m2), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 06,2

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO Y POLEA 06,3

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO Y POLEA 06,4

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m1 g cos α = 0 N = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – Fr – m1 g sen α = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m1 g cos α – m1 g sen α  = m1 a

Bloque 2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura:

Fuerzas normales:

–T + P2 = m2 a –T + m2 g = m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – μ m1 g cos α – m1 g sen α  = m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

m2 g – m2 a – μ m1 g cos α – m1 g sen α  = m1 a

Como m1 = m2, tenemos que:

m1 g – m1 a – μ m1 g cos α – m1 g sen α  = m1 a

o sea:

g – a – μ g cos α – g sen α  =  a

2 a = g – μ g cos α – g sen α

a = g (1 – μ cos α – sen α)/2

a = (9,8 m/s2)·(1 – 0,1 cos 20º – sen 20º)/2

a = 2,76 m/s2

La aceleración del sistema es 2,76 m/s2

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m2 (g – a)

T = 2 kg·[(9,8 m/s2) – (2,76 m/s2)] = 14,1 N

La tensión en la cuerda es 14,1 N

 

 

 

Plano inclinado y polea 05

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,1

En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa. Determina la aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de α, k y m.

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,2

Según la figura:

T1 = P sen α = m g sen α

T2 = P = m g

Como T2 > T1 (ya que 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,4

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – Fr – m g sen α = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = k N = k m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

Bloque 2:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,5

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P = m a –T + m g = m a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

T = m g – m a

de donde:

m g – m a – k m g cos α – m g sen α  = m a

g – a – k g cos α – g sen α  =  a

2 a = g – k g cos α – g sen α

a = g (1 – k cos α – sen α)/2

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m g – m [g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g – [m g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g {1 – [(1 – k cos α – sen α)/2]}

T = m g [(2 – 1 + k cos α + sen α)/2]

T = m g (1 + k cos α + sen α)/2

 

 

 

Plano inclinado y polea 04

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,1

Dos cuerpos unidos por una cuerda se disponen en un plano inclinado según la figura, donde m1 = 6 kg y m2 = 10 kg, siendo el coeficiente de rozamiento con el plano 0,2 y a = 30°. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Datos: m1 = 6 kg; m2 = 10 kg; μ = 0,2; a = 30°.

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,2

Según la figura:

T1 = P1 sen α = m1 g sen α

T2 = P2 = m2 g

Como T2 > T1 (ya que m2 > m1 y 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 04,3

Según la figura:

Fuerzas  normales (perpendiculares):

N – P1 cos α = 0 N = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P1 sen α – Fr = m1 a → T = m1 g sen α + Fr + m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T = m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m2:

PLANO HORIZONTAL Y POLEA 04,3

Según la figura:

–T + P2 = m2 a T = m2 g – m2 a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a

T = m2 g – m2 a

de donde:

m1 g sen α + μ m1 g cos α + m1 a = m2 g – m2 a

m1 a + m2 a = m2 g – m1 g sen α μ m1 g cos α

(m1 + m2) a = (m2m1 sen α μ m1 cos α) g

a = [m2 m1 (sen α + μ cos α)] g/(m1 + m2)

a = [10 kg – 6 kg·(sen 30º + 0,2·cos 30º)]·(9,8 m/s2)/(6 kg + 10 kg)

a = 3,65 m/s2

La aceleración del sistema es 3,65 m/s2

T = m2 (g – a)

T = 10 kg·[(9,8 m/s2) – (3,65 m/s2)] = 61,5 N

La tensión en la cuerda es 61,5 N

 

 

 

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