El Sapo Sabio

Archivo de noviembre de 2017

 

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Datos: m₁ = m₂ = 2 kg, α = 20º y μ = 0,1

 

 

Solución:

Datos: m₁ = m₂ = 2 kg; α = 20º; μ = 0,1

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Según la figura:

T₁ = P₁ sen α = m₁ g sen α

T₂ = P₂ = m₂ g

Como T₂ > T₁ (ya que 0 < sen α < 1 y m₁ = m₂), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m₁ g cos α = 0 → N = m₁ g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – F_r – m₁ g sen α = m₁ a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m₁ g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – μ m₁ g cos α – m₁ g sen α  = m₁ a

Bloque 2:

Según la figura:

Fuerzas normales:

–T + P₂ = m₂ a → –T + m₂ g = m₂ a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – μ m₁ g cos α – m₁ g sen α  = m₁ a

T = m₂ g – m₂ a

de donde:

m₂ g – m₂ a – μ m₁ g cos α – m₁ g sen α  = m₁ a

Como m₁ = m₂, tenemos que:

m₁ g – m₁ a – μ m₁ g cos α – m₁ g sen α  = m₁ a

o sea:

g – a – μ g cos α – g sen α  =  a

2 a = g – μ g cos α – g sen α

a = g (1 – μ cos α – sen α)/2

a = (9,8 m/s²)·(1 – 0,1 cos 20º – sen 20º)/2

a = 2,76 m/s²

La aceleración del sistema es 2,76 m/s²

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m₂ (g – a)

T = 2 kg·[(9,8 m/s²) – (2,76 m/s²)] = 14,1 N

La tensión en la cuerda es 14,1 N

 

 

 

 

En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa. Determina la aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de α, k y m.

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Según la figura:

T₁ = P sen α = m g sen α

T₂ = P = m g

Como T₂ > T₁ (ya que 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – F_r – m g sen α = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = k N = k m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

Bloque 2:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P = m a → –T + m g = m a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

T = m g – m a

de donde:

m g – m a – k m g cos α – m g sen α  = m a

g – a – k g cos α – g sen α  =  a

2 a = g – k g cos α – g sen α

a = g (1 – k cos α – sen α)/2

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m g – m [g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g – [m g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g {1 – [(1 – k cos α – sen α)/2]}

T = m g [(2 – 1 + k cos α + sen α)/2]

T = m g (1 + k cos α + sen α)/2

 

 

 

 

Dos cuerpos unidos por una cuerda se disponen en un plano inclinado según la figura, donde m₁ = 6 kg y m₂ = 10 kg, siendo el coeficiente de rozamiento con el plano 0,2 y a = 30°. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 6 kg; m₂ = 10 kg; μ = 0,2; a = 30°.

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Según la figura:

T₁ = P₁ sen α = m₁ g sen α

T₂ = P₂ = m₂ g

Como T₂ > T₁ (ya que m₂ > m₁ y 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m₁:

Según la figura:

Fuerzas  normales (perpendiculares):

N – P₁ cos α = 0 → N = m₁ g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P₁ sen α – F_r = m₁ a → T = m₁ g sen α + F_r + m₁ a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m₁ g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T = m₁ g sen α + μ m₁ g cos α + m₁ a

Fuerzas que intervienen en el cuerpo m₂:

Según la figura:

–T + P₂ = m₂ a → T = m₂ g – m₂ a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T = m₁ g sen α + μ m₁ g cos α + m₁ a

T = m₂ g – m₂ a

de donde:

m₁ g sen α + μ m₁ g cos α + m₁ a = m₂ g – m₂ a

m₁ a + m₂ a = m₂ g – m₁ g sen α – μ m₁ g cos α

(m₁ + m₂) a = (m₂ – m₁ sen α – μ m₁ cos α) g

a = [m₂ – m₁ (sen α + μ cos α)] g/(m₁ + m₂)

a = [10 kg – 6 kg·(sen 30º + 0,2·cos 30º)]·(9,8 m/s²)/(6 kg + 10 kg)

a = 3,65 m/s²

La aceleración del sistema es 3,65 m/s²

T = m₂ (g – a)

T = 10 kg·[(9,8 m/s²) – (3,65 m/s²)] = 61,5 N

La tensión en la cuerda es 61,5 N