Archivo de septiembre de 2017

Ascensor y poleas 10

ASCENSOR Y POLEA, 10,1

Calcula la aceleración  de los bloques y la tensión de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y la superficie vale: μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

ASCENSOR Y POLEA, 10,2

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T3 = 2 T2                T2 = m2 g

Como la polea fija únicamente está sometida a la fuerza T1, al dejar el sistema en libertad ésta girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 1 se moverá hacia la derecha y el bloque 2 bajará. Las aceleraciones serán diferentes, porque no están unidos directamente por una cuerda.

ASCENSOR Y POLEA, 10,3

N = m1 g

T1 – Fr = m1 a1

T1μ N = m1 a1 T1μ m1 g = m1 a1

ASCENSOR Y POLEA, 10,4

2T2 – T1 = 0·a1 T2 = (1/2) T1

La polea móvil no tiene masa (T1 = T3)

ASCENSOR Y POLEA, 10,5

m2 g – T2 = m2 a2

La polea móvil y el bloque 1 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 2.

Relación entre las aceleraciones:

ASCENSOR Y POLEA, 10,6

Si el bloque 1 recorre una distancia L, la polea móvil bajará la misma distancia.

Si la polea móvil baja una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 2 bajará una distancia 2L, luego:

L2 = 2L1

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v2 = 2v1                 a2 = 2a1

(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 2 es el doble de la del cuerpo 1 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)

Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:

T1μ m1 g = m1 a1

T2 = (1/2) T1

m2 g – T2 = m2 a2

a2 = 2a1

De donde obtenemos que:

T1 = μ m1 g + m1 a1

m2 g – (1/2) T1 = m2 2a1

Sustituyendo el valor de T1 en la segunda de las anteriores ecuaciones, tenemos que:

m2 g – (1/2) (μ m1 g + m1 a1) = 2m2 a1

2m2 g – μ m1 g – m1 a1 = 4m2 a1

2m2 g – μ m1 g = m1 a1 + 4m2 a1

(2m2μ m1) g = (m1 + 4m2) a1

a1 = (2m2μ m1) g/(m1 + 4m2)

a1 = (2m – μ m) g/(m + 4m)

a1 = (2 – μ) m g/5m

a1 = (2 – μ) g/5

a2 = 2·(2 – μ) g/5 = (2/5)·(2 – μ) g

T1 = μ m g + m [(2 – μ) g/5]

T1 = m g {μ + [(2 – μ)/5]}

T1 = m g [(5μ + 2 – μ)/5]

T1 = m g [(4μ + 2)/5]

T1 = 2m g [(2μ + 1)/5]

T2 = (1/2) 2m g [(2μ + 1)/5]

T2 = m g [(2μ + 1)/5]

 

 

 

Ascensor y poleas 09

 

ASCENSOR Y POLEA, 09,1

Calcula la aceleración de los bloques y las tensiones de las cuerdas al dejar en libertad el sistema. Datos: m1 = 4 kg, m2 = 6 kg

 

 

Solución:

Datos: m1 = 4 kg, m2 = 6 kg

Si el problema no da los datos de las poleas, se sobreentiende que sus masas son despreciables. En este caso no se cuenta con las rotaciones de las poleas y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

ASCENSOR Y POLEA, 09,2

Según la figura:

T1 = m1 g          2T3 = T2 T3 = (1/2) T2              T2 = m2 g     

Como T1 > T3, ya que m1 > (1/2) m2, al dejar el sistema en libertad la polea fija girará en sentido contrario al de las agujas del reloj.

El bloque 1 bajará y el bloque 2 subirá, siendo sus aceleraciones diferentes porque no están unidos directamente por una cuerda.

ASCENSOR Y POLEA, 09,3

m1 g – T1 = m1 a1

ASCENSOR Y POLEA, 09,4

2T1 – T2 = 0·a2 T1 = (1/2) T2

La polea móvil no tiene masa (T1 = T3)

ASCENSOR Y POLEA, 09,5

T2 – m2 g = m2 a2

La polea móvil y el bloque 2 tienen la misma aceleración que es distinta de la del bloque 1.

Relación entre las aceleraciones:

ASCENSOR Y POLEA, 09,6

Si el bloque 2 sube una distancia L, la polea móvil subirá la misma distancia.

Si la polea móvil sube una distancia L, tendrá que disminuir en L la longitud de la cuerda a cada lado de la misma, por tanto el bloque 1 bajará una distancia 2L.

En general: si el bloque unido a la polea móvil recorre un espacio L2 el otro bloque recorrerá un espacio doble.

L1 = 2L2

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

v1 = 2v2                 a1 = 2a2

(Se puede observar que la aceleración del cuerpo 1 es el doble de la del cuerpo 2 y en cambio la tensión que sufre es la mitad)

Combinando las expresiones obtenidas anteriormente resulta el siguiente sistema:

m1 g – T1 = m1 a1

T1 = (1/2) T2

T2 – m2 g = m2 a2

a1 = 2a2

De donde obtenemos que:

m1 g – (1/2) T2 = m1 2a2

T2 = m2 g + m2 a2

Sustituyendo el valor de T2 en la primera de las anteriores ecuaciones, tenemos que:

m1 g – (1/2) (m2 g + m2 a2) = m1 2a2

2m1 g – m2 g – m2 a2 = 4m1 a2

2m1 g – m2 g = m2 a2 + 4m1 a2

(2m1 – m2) g = (m2 + 4m1) a2

a2 = (2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)

a1 = 2(2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)

T2 = m2 g + m2 [(2m1 – m2) g/(m2 + 4m1)]

T2 = m2 g {1 + [(2m1 – m2)/(m2 + 4m1)]}

T2 = m2 g [(m2 + 4m1 + 2m1 – m2)/(m2 + 4m1)]

T2 = m2 g [6m1/(m2 + 4m1)]

T2 = 6m1 m2 g/(m2 + 4m1)

T1 = (1/2) [6m1 m2 g/(m2 + 4m1)]

T1 = 3m1 m2 g/(m2 + 4m1)

a1 = 2·(2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)

a1 = 4 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 1,78 m/s2

a2 = (2·4 kg – 6 kg)·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)

a2 = 2 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 0,89 m/s2

T1 = 3·4 kg·6 kg·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)

T1 = 72 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 32 N

T2 = 6·4 kg·6 kg·(9,8 m/s2)/(6 kg + 4·4 kg)

T2 = 144 kg·(9,8 m/s2)/22 kg = 64 N

Es interesante observar que mediante la polea móvil, un bloque de 4 kg consigue subir otro de 6 kg.

 

 

 

Ascensor y poleas 08

 

ASCENSOR Y POLEA, 08,1

Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda al dejar en libertad el sistema y la fuerza necesaria para sujetar la polea. Considerar: m2 > m1

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de la polea, se sobreentiende que su masa es despreciable. En éste caso no se cuenta con la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

ASCENSOR Y POLEA, 08,2

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Con los datos del problema T2 > T1, luego al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.

El bloque 2 bajará y el bloque 1 subirá, ambos con la misma aceleración (módulo).

ASCENSOR Y POLEA, 08,3

T – m1 g = m1 a

ASCENSOR Y POLEA, 08,4

–T + m2 g = m2 a

ASCENSOR Y POLEA, 08,5

Si las masas fueran iguales los bloques no se moverían (a = 0) y la fuerza necesaria para sujetar la polea sería la suma de los pesos de los bloques (2 m g)

 

 

 

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