Archivo de julio de 2017

Plano inclinado con rozamiento 24

 

Un cuerpo reposa sobre un plano inclinado de ángulo variable. Se observa que empieza a deslizar cuando la inclinación del plano es de 37º. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento entre bloque y plano? ¿Cuál sería la aceleración del bloque si el ángulo fuera de 45º?

 

 

Solución:

Datos: α = 37º; α’ = 45º

Veamos la aceleración con la que bajaría un bloque, por un plano inclinado con rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 2

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

Aplicando la fórmula obtenida a cada una de las situaciones que da el enunciado se obtiene el siguiente sistema:

0 = g (sen αμ cos α)

a = g (sen α’ – μ cos α’)

La inclinación α = 37º,  corresponde al caso crítico: el bloque está quieto (a = 0) a punto de deslizar. Para una inclinación α’ = 45º, el bloque ya baja con aceleración a.

sen α – μ cos α = 0 μ cos α = sen α μ = sen α/cos α

μ = tg α = tg 37º = 0,75

a = g (sen α’ – tg α·cos α’)

a = (9,8 m/s2)·(sen 45º – tg 37º·cos 45º) = 1,71 m/s2

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 23

 

Sobre un plano inclinado de ángulo α se mueve un vehículo dentro del cual hay un péndulo colgando del techo. Sabiendo que el hilo del péndulo forma 90º con el techo calcula la aceleración del vehículo.

 

 

Solución:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,1

El vehículo se mueve paralelamente al plano con una cierta aceleración. La bolita también se mueve paralelamente al plano y con la misma aceleración.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,2

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,3

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,4

Como se ve, la bola del péndulo está sometida a una fuerza paralela al plano en sentido descendente, por tanto su aceleración y la del vehículo, será en sentido descendente.

T = m g cos α

m g sen α = m a a = g sen α

Hemos calculado la aceleración pero eso no nos dice como se mueve el vehículo. Puede estar bajando ganando rapidez o subiendo perdiendo rapidez.

Comentarios:

Si a = 0:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,5

El péndulo cuelga verticalmente.

Si la aceleración es a:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 23,6

El péndulo se inclina en sentido contrario a la aceleración.

Aceleración y movimiento:

Un cuerpo que tenga velocidad y aceleración tangencial en el mismo sentido, se moverá cada vez más deprisa en el sentido de la velocidad.

Un cuerpo que tenga velocidad y aceleración tangencial en sentido contrario, se moverá cada vez más despacio en el sentido de la velocidad.

Un cuerpo que no tenga velocidad y tenga aceleración, empezará a moverse en el sentido de la aceleración.

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 22

 

Se abandona un cuerpo en un plano inclinado. Siendo el coeficiente de rozamiento con el plano 0,2; calcula la aceleración que tomará suponiendo que el ángulo del plano es:

a)  10º

b)  20º

c)  30º

d)  ¿Cuál será la menor inclinación posible que permita bajar al bloque?

 

 

Solución:

Dato: μ = 0,2

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 22,1

Sentido del movimiento:

Según la figura, un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 22,2

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α – μ m g cos α = m a

g sen α – μ g cos α = a

a = g (sen α – μ cos α)

a)  Dato: α = 10º

a = (9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,2·cos 10º) = –0,23 m/s2

Un  valor negativo del módulo de la aceleración no tiene sentido, por tanto el bloque no se moverá porque la fuerza de rozamiento se lo impide, luego su aceleración es cero.

b)  Dato: α = 20º

a = (9,8 m/s2)·(sen 20º – 0,2·cos 20º) = 1,51 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 1,51 m/s2

c)  Dato: α = 30º

a = (9,8 m/s2)·(sen 30º – 0,2·cos 30º) = 3,20 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 3,20 m/s2

d)  Según los apartados anteriores, al disminuir la inclinación del plano disminuye la aceleración de bajada e incluso puede ocurrir que el bloque no se mueva.

Además, hemos visto que si el bloque se mueve la aceleración es positiva y si está quieto la aceleración es negativa, así que la transición entre moverse o estar parado corresponderá al caso en que la aceleración sea cero:

0 = g (sen α – μ cos α) sen α – μ cos α = 0

μ cos α = sen α μ = sen α/cos α = tg α

α = arc tg μ = arc tg 0,2

Primera solución:

α = 11,3º

Segunda solución:

α = 11,3º + 180º = 191,3º

Esta solución no sirve.

La menor inclinación posible que permita bajar al bloque es 11,3º

 

 

 

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