Archivo de junio de 2017

Plano inclinado con rozamiento 21

 

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 21,1

Un bloque es arrastrado hacia arriba, sobre un plano inclinado de ángulo α, por un una fuerza horizontal igual a su peso. Siendo μ el coeficiente de rozamiento entre bloque y plano, determina la aceleración.

 

 

Solución:

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 21,2

Descomposición de fuerzas 1:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Descomposición de fuerzas 2:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 21,3

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí las primeras y paralelas las segundas, por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 21,4

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N = F sen α + m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F cos α – m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ (F sen α + m g cos α)

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F cos α – m g sen α – μ (F sen α + m g cos α) = m a

Como F = m g, tenemos que:

m g cos α – m g sen α – μ (m g sen α + m g cos α) = m a

m g cos α – m g sen α – μ (sen α + cos α) m g = m a

Simplificando:

g cos α – g sen α – μ (sen α + cos α) g = a

a = g (cos α – sen α – μ sen α – μ cos α)

a = g [(1 – μ) cos α – (1 + μ) sen α]

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 20

 

Un cuerpo de 15 kg de masa se encuentra situado en un plano inclinado que forma un ángulo de 50º con la horizontal. Le aplicamos una fuerza de 50 N paralela al plano y en sentido ascendente. El coeficiente de rozamiento es 0,25. ¿Subirá o bajará por el plano? ¿Qué espacio recorre en 2 s?

 

 

Solución:
Datos: m = 15 kg; v
0 = 0; α = 50º; F = 50 N;  μ = 0,25; t = 2 s

Sentido del movimiento:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,1

La fuerza F (30 N) es menor que m g sen α (112,6 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia abajo y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia abajo, el bloque comenzará a bajar, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia arriba.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 18,4

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

–F + m g sen αμ m g cos α = m a

a = (–F + m g sen αμ m g cos α)/m

a = [–F + m g (sen α μ cos α)]/m

a = [–50 N + 15 kg·(9,8 m/s2)·(sen 50º – 0,25 cos 50º)]/15 kg = 2,6 m/s2

Efectivamente el cuerpo bajará con una aceleración de 2,6 m/s2

Espacio que recorre para t = 2 s

Ecuación de posición (Cinemática):

x = v0 t + (1/2) a t2 x = 0 + (1/2) a t2

x = (1/2)·(2,6 m/s2)·(2 s)2 = 5,2 m

El cuerpo ha recorrido 5,2 m

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 19

 

Un cuerpo de 15 kg de masa se sitúa en lo alto de un plano inclinado 60º con respecto a la horizontal. La longitud del plano es  de 9 m. Calcula la velocidad con la que llegará el cuerpo al final del plano en los siguientes casos:

a)  Suponiendo que no existe rozamiento.

b)  Con coeficiente de rozamiento igual a 0,1.

 

 

Solución:
Datos: m = 15 kg; v
0 = 0; α = 60º; x = 9 m

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 + a t v = 0 + a t

x = v0 t + (1/2) a t2 x = 0 + (1/2) a t2

Como no conocemos el tiempo que el cuerpo tarda en llegar al suelo despejaremos el tiempo, t, en la ecuación de la velocidad y sustituiremos en la expresión de posición.

t = v/a x = (1/2) a (v/a)2

x = v2/2 a v2 = 2 x a

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,1

Para poder hallar la velocidad final se necesita conocer la aceleración que lleva el cuerpo.

a)  Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL SIN ROZAM 10, 9

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 05,3

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0  N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α = m a  g sen α = a

a = (9,8 m/s2)·sen 60º = 8,5 m/s2

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,2

b)  Dato: μ = 0,1

Fuerzas que intervienen:

Un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

PLANO INCL CON ROZAM 10, 1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 2

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

a = (9,8 m/s2)·(sen 60º – 0,1·cos 60º) = 8 m/s2

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 19,3

 

 

 

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