El Sapo Sabio

Archivo de junio de 2017

 

Un bloque es arrastrado hacia arriba, sobre un plano inclinado de ángulo α, por un una fuerza horizontal igual a su peso. Siendo μ el coeficiente de rozamiento entre bloque y plano, determina la aceleración.

 

 

Solución:

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas 1:

Descomposición de fuerzas 2:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí las primeras y paralelas las segundas, por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N = F sen α + m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F cos α – m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ (F sen α + m g cos α)

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F cos α – m g sen α – μ (F sen α + m g cos α) = m a

Como F = m g, tenemos que:

m g cos α – m g sen α – μ (m g sen α + m g cos α) = m a

m g cos α – m g sen α – μ (sen α + cos α) m g = m a

Simplificando:

g cos α – g sen α – μ (sen α + cos α) g = a

a = g (cos α – sen α – μ sen α – μ cos α)

a = g [(1 – μ) cos α – (1 + μ) sen α]

 

 

 

 

Un cuerpo de 15 kg de masa se encuentra situado en un plano inclinado que forma un ángulo de 50º con la horizontal. Le aplicamos una fuerza de 50 N paralela al plano y en sentido ascendente. El coeficiente de rozamiento es 0,25. ¿Subirá o bajará por el plano? ¿Qué espacio recorre en 2 s?

 

 

Solución:
Datos: m = 15 kg; v₀ = 0; α = 50º; F = 50 N;  μ = 0,25; t = 2 s

Sentido del movimiento:

La fuerza F (30 N) es menor que m g sen α (112,6 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia abajo y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia abajo, el bloque comenzará a bajar, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia arriba.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – μ m g cos α = m a

a = (–F + m g sen α – μ m g cos α)/m

a = [–F + m g (sen α – μ cos α)]/m

a = [–50 N + 15 kg·(9,8 m/s²)·(sen 50º – 0,25 cos 50º)]/15 kg = 2,6 m/s²

Efectivamente el cuerpo bajará con una aceleración de 2,6 m/s²

Espacio que recorre para t = 2 s

Ecuación de posición (Cinemática):

x = v₀ t + (1/2) a t² → x = 0 + (1/2) a t²

x = (1/2)·(2,6 m/s²)·(2 s)² = 5,2 m

El cuerpo ha recorrido 5,2 m

 

 

 

 

Un cuerpo de 15 kg de masa se sitúa en lo alto de un plano inclinado 60º con respecto a la horizontal. La longitud del plano es  de 9 m. Calcula la velocidad con la que llegará el cuerpo al final del plano en los siguientes casos:

a)  Suponiendo que no existe rozamiento.

b)  Con coeficiente de rozamiento igual a 0,1.

 

 

Solución:
Datos: m = 15 kg; v₀ = 0; α = 60º; x = 9 m

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t → v = 0 + a t

x = v₀ t + (1/2) a t² → x = 0 + (1/2) a t²

Como no conocemos el tiempo que el cuerpo tarda en llegar al suelo despejaremos el tiempo, t, en la ecuación de la velocidad y sustituiremos en la expresión de posición.

t = v/a → x = (1/2) a (v/a)²

x = v²/2 a → v² = 2 x a

Para poder hallar la velocidad final se necesita conocer la aceleración que lleva el cuerpo.

a)  Fuerzas que intervienen:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α = m a → g sen α = a

a = (9,8 m/s²)·sen 60º = 8,5 m/s²

b)  Dato: μ = 0,1

Fuerzas que intervienen:

Un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α – μ m g cos α = m a

a = g sen α – μ g cos α

a = g (sen α – μ cos α)

a = (9,8 m/s²)·(sen 60º – 0,1·cos 60º) = 8 m/s²