El Sapo Sabio

Archivo de enero de 2017

 

Sobre una superficie horizontal se lanza un cuerpo de 2 kg con una velocidad inicial de 5 m/s. El cuerpo se para debido al rozamiento después de recorrer 20 m. Calcula:

a)  La aceleración.

b)  El coeficiente de rozamiento.

c)  La fuerza horizontal que debe aplicarse al cuerpo para que a los 20 m en lugar de pararse tenga una velocidad de 8 m/s.

 

 

Solución:
Datos: m = 2 kg; v₀ = 5 m/s; v = 0; x = 20 m

a)  Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t → 0 = v₀ + a t

x = v₀ t + (1/2) a t²

De la expresión de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la expresión de posición.

a t = –v₀ → t = –v₀/a

 x = v₀ (–v₀/a) + (1/2) a (–v₀/a)²

x = (–v₀²/a) + (v₀²/2a)

x = –v₀²/2a

a = –v₀²/2x

a = –(5 m/s)²/2·20 m = –0,625 m/s²

El signo negativo indica que la aceleración es de frenado.

b)  Fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

Fuerzas normales:

N – m g = 0 → N = m g

Fuerzas tangenciales:

F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g

m a = μ m g

a = μ g

μ = a/g

μ = (0,625 m/s²)/(9,8 m/s²) =0,06

c)  Datos: x = 20 m; v = 8 m/s

Fuerzas que intervienen:

Fuerzas normales:

N – m g = 0 → N = m g

Fuerzas tangenciales:

F – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

F – μ m g = m a

F = μ m g + m a

F = (μ g + a)·m

Para poder averiguar el valor de la fuerza (F) necesitamos conocer la aceleración (a) que lleva el cuerpo, para lo cual acudiremos a Cinemática.

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t

x = v₀ t + (1/2) a t²

De la expresión de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la expresión de posición.

a t = v – v₀ → t = (v – v₀/a)

 x = v₀ (v – v₀/a) + (1/2) a (v – v₀/a)²

x = v₀ (v – v₀)/a + (v – v₀)²/2a

x = 2v₀ (v – v₀)/2a + (v – v₀)²/2a

x = [2v₀ (v – v₀) + (v – v₀)²]/2a

x = (v – v₀) [2v₀ + (v – v₀)]/2a

x = (v – v₀) (2v₀ + v – v₀)/2a

x = (v – v₀) (v₀ + v)/2a

x = (v² – v₀²)/2a

a = (v² – v₀²)/2x

a = [(8 m/s)² – (5 m/s)²]/2·20 m

a = 0,975 m/s²

F = 2 kg·[(0,975 m/s²) + (0,06·9,8 m/s²)] = 3,126 N

 

 

 

 

Un camión sale de una ciudad con una velocidad de 72 km/h. Dos horas más tarde parte de la misma ciudad un automóvil en persecución del camión con una velocidad de 108 km/h. Calcula:

a)  El tiempo que tardan en encontrarse

b)  La posición donde se encuentran

 

 

Solución:

Datos: v₁ = 72 km/h; t₁ = 2 h; v₂ = 108 km/h

a)  Gráfica del movimiento:

Como ambos vehículos no parten a la vez, empezaremos a contar el tiempo cuando sale desde la ciudad (origen de coordenadas) el último, es decir, el camión. Luego como éste ya ha estado 2 horas moviéndose, habrá recorrido un espacio (x_1,0) cuando sale el automóvil de la ciudad. O sea:

x_1,0 = (72 km/h)· 2 h = 144 km

Ecuaciones del movimiento de los vehículos:

Camión:

x₁ = x_1,0 + v₁ t

Automóvil:

x₂ = v₂ t

siendo t el tiempo que tarda el automóvil en alcanzar al camión.

En el punto de encuentra ambos vehículos están a la misma distancia del punto de partida, luego:

x₁ = x₂

Luego:

x_1,0 + v₁ t = v₂ t

v₂ t – v₁ t = x_1,0

(v₂ – v₁) t = x_1,0

t = x_1,0/(v₂ – v₁)

t = 144 km/[(108 – 72) km/h) = 4 h

El tiempo que tardan ambos vehículos en encontrarse es 4 h.

b)  Como ya hemos dicho, en el punto de encuentro los dos vehículos están a la misma distancia del lugar de salida, por lo tanto, para saber la posición donde se encuentran, se puede utilizar cualquiera de las ecuaciones del movimiento.

x₂ = (108 km/h)·4 h = 432 km

Cuando ambos vehículos se encuentren estarán a 432 km de la ciudad.

 

 

 

 

¿Qué aceleración habrá que comunicar a un cuerpo que lleva una velocidad de 180 km/h para que se detenga en 30 m? ¿Cuánto valdrá la fuerza de frenado si el cuerpo tiene una masa de 500 kg?

 

 

Solución:
Datos: v₀ = 180 km/h = 50 m/s; v = 0; x = 30 m; m = 500 kg

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t → 0 = v₀ + a t

x = v₀ t + (1/2) a t²

De la expresión de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la expresión de posición:

a t = –v₀ → t = (–v₀/a)

x = v₀ (–v₀/a) + (1/2) a (–v₀/a)²

x = (–v₀²/a) + (v₀²/2a)

x = (–v₀²/2a)

a = (–v₀²/2x)

a = –(50 m/s)²/2·30 m

a = –41,7 m/s²

El signo negativo indica que se trata de una aceleración de frenado.

Fuerza de frenado:

F = m a = 500kg·(41,7 m/s²) = 20850 N