Archivo de agosto de 2016
Período y frecuencia 10
Una partícula realiza un movimiento armónico simple de amplitud 8 m cuya aceleración es a = –16 x (x: m, a: m/s2)
Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.
Solución:
Dato: A = 8 m
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –x ω2
Frecuencia (f):
f = 1/T
Fase angular (ω):
ω = 2π/T → T = 2π/ω
f = ω/2π
De la ecuación de la aceleración tenemos que:
a = –x ω2
por tanto:
–x ω2 = –16 x → ω2 = 16 → ω = 4 rad/s
f = (4 rad/s)/2π rad = (2/π) Hz
Elongación, velocidad y aceleración máximas:
Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:
xmax = A, vmax = A ω, amax = A ω2
Velocidad máxima:
vmax = 8 m· 4 rad/s = 32 m/s
Período y frecuencia 09
Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.
Solución:
Datos: x1 = 0 → v1 = 1 cm/s; x2 = 5 cm → v2 = 0
Período (T):
ω = 2π/T → T = 2π/ω
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:
x = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x/A
sen2 (ω t + φ0) = (x/A)2
v = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v/A ω
cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x/A)2 + (v/A ω)2
1 = (x/A)2 + (v/A ω)2
Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:
(x1/A)2 + (v1/A ω)2 = 1
(x2/A)2 + (v2/A ω)2 = 1
Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A2:
x12 + (v12/ω2) = A2
x22 + (v22/ω2) = A2
x12 + (v12/ω2) = x22 + (v22/ω2)
x12 – x22 = (v22/ω2) – (v12/ω2)
x12 – x22 = (v22 – v12 )/ω2
x12 – x22 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/ω2
ω2 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/( x12 – x22)
Período y frecuencia 08
Calcula el período de una partícula vibrante (armónico simple), que tiene una aceleración de 64 cm/s2, cuando su desplazamiento es de 16 cm.
Solución:
Datos: a = 64 cm/s2; x = 16 cm
Fase angular (ω):
ω = 2π/T
Período (T):
T = 2π/ω
En un movimiento armónico la aceleración es proporcional y contraria a la elongación:
a = –ω2 x
La relación entre los módulos será:
a = ω2 x ω2 = a/x