El Sapo Sabio

Archivo de agosto de 2016

 

Una partícula realiza un movimiento armónico simple de amplitud 8 m cuya aceleración es a = –16 x (x: m, a: m/s²)

Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.

 

 

Solución:

Dato: A = 8 m

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) = –x ω²

Frecuencia (f):

f = 1/T

Fase angular (ω):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

f = ω/2π

De la ecuación de la aceleración tenemos que:

a = –x ω²

por tanto:

–x ω² = –16 x → ω² = 16 → ω = 4 rad/s

f  = (4 rad/s)/2π rad = (2/π) Hz

Elongación, velocidad y aceleración máximas:

Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:

x_max = A, v_max = A ω, a_max = A ω²

Velocidad máxima:

v_max = 8 m· 4 rad/s = 32 m/s

 

 

 

 

Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.

 

 

Solución:

Datos: x₁ = 0 → v₁ = 1 cm/s; x₂ = 5 cm → v₂ = 0

Período (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:

x = A sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = x/A

sen² (ω t + φ₀) = (x/A)²

v = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀)  = v/A ω

cos² (ω t + φ₀) = (v/A ω)²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀)  = (x/A)² + (v/A ω)²

1 = (x/A)² + (v/A ω)²

Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:

(x₁/A)² + (v₁/A ω)² = 1

(x₂/A)² + (v₂/A ω)² = 1

Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A²:

x₁² + (v₁²/ω²) = A²

x₂² + (v₂²/ω²) = A²

x₁² + (v₁²/ω²) = x₂² + (v₂²/ω²)

x₁² – x₂² = (v₂²/ω²) – (v₁²/ω²) 

x₁² – x₂² = (v₂² – v₁² )/ω² 

x₁² – x₂² = (v₂² + v₁² )·(v₂² – v₁² )/ω² 

ω² = (v₂² + v₁² )·(v₂² – v₁² )/( x₁² – x₂²)

 

 

 

 

Calcula el período de una partícula vibrante (armónico simple), que tiene una aceleración de 64 cm/s², cuando su desplazamiento es de 16 cm.

 

 

Solución:

Datos: a = 64 cm/s²; x = 16 cm

Fase angular (ω):

ω = 2π/T

Período (T):

T = 2π/ω

En un movimiento armónico la aceleración es proporcional y contraria a la elongación:

a = –ω² x  

La relación entre los módulos será:

a = ω² x   ω² = a/x