Archivo de agosto de 2016

Período y frecuencia 10

 

Una partícula realiza un movimiento armónico simple de amplitud 8 m cuya aceleración es a = –16 x (x: m, a: m/s2)

Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.

 

 

Solución:

Dato: A = 8 m

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –x ω2

Frecuencia (f):

f = 1/T

Fase angular (ω):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

f = ω/2π

De la ecuación de la aceleración tenemos que:

a = –x ω2

por tanto:

–x ω2 = –16 x ω2 = 16 ω = 4 rad/s

f  = (4 rad/s)/2π rad = (2/π) Hz

Elongación, velocidad y aceleración máximas:

Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:

xmax = A, vmax = A ω, amax = A ω2

Velocidad máxima:

vmax = 8 m· 4 rad/s = 32 m/s

 

 

 

Período y frecuencia 09

 

Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.

 

 

Solución:

Datos: x1 = 0 → v1 = 1 cm/s; x2 = 5 cm → v2 = 0

Período (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:

x = A sen (ω t + φ0) sen (ω t + φ0) = x/A

sen2 (ω t + φ0) = (x/A)2

v = A ω cos (ω t + φ0) cos (ω t + φ0)  = v/A ω

cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0)  = (x/A)2 + (v/A ω)2

1 = (x/A)2 + (v/A ω)2

Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:

(x1/A)2 + (v1/A ω)2 = 1

(x2/A)2 + (v2/A ω)2 = 1

Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A2:

x12 + (v12/ω2) = A2

x22 + (v22/ω2) = A2

x12 + (v12/ω2) = x22 + (v22/ω2)

x12 – x22 = (v22/ω2) – (v12/ω2

x12 – x22 = (v22 – v12 )/ω2 

x12 – x22 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/ω2 

ω2 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/( x12 – x22)

PERIODO Y FRECUENCIA 09

 

 

 

Período y frecuencia 08

 

Calcula el período de una partícula vibrante (armónico simple), que tiene una aceleración de 64 cm/s2, cuando su desplazamiento es de 16 cm.

 

 

Solución:

Datos: a = 64 cm/s2; x = 16 cm

Fase angular (ω):

ω = 2π/T

Período (T):

T = 2π/ω

En un movimiento armónico la aceleración es proporcional y contraria a la elongación:

a = –ω2 x  

La relación entre los módulos será:

a = ω2 x   ω2 = a/x

PERIODO Y FRECUENCIA 08

 

 

 

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