Archivo de julio de 2016

Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 12

 

Escribe las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que, cuando la elongación es 50 cm la velocidad y aceleración valen respectivamente:

PLANTEAMINETO EC MAS 12,1

Se sabe además que en el instante t = 3 s la fase es: 11π rd/4.

 

 

Solución:

Datos:

PLANTEAMINETO EC MAS 12,2

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ0)

a = dv/dt = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x

De la tercera ecuación se tiene:

ω2 = –a/x

PLANTEAMINETO EC MAS 12,3

De las dos primeras ecuaciones tenemos que:

x = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x/A → sen2 (ω t + φ0) = (x/A)2

v = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v/A ω → cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x/A)2 + (v/A ω)2

PLANTEAMINETO EC MAS 12,4

Si t = 3 s entonces φ = 11π rd/4, luego:

φ = ω t + φ0

φ0 = φ – ω t

PLANTEAMINETO EC MAS 12,5

 

 

 


Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 11

 

Un objeto colgado de un muelle describe un m.a.s de amplitud 10 cm y período 0,1 s. En el instante inicial el muelle está estirado, ocupando el objeto la posición más baja en su oscilación.

a)  Determina la ecuación del movimiento.

b)  Encuentra la posición que ocupará el objeto transcurridos 10 s desde que se inició la oscilación.

c)  Calcula la velocidad y la aceleración en ese instante.

d)  Demuestra que la máxima velocidad se alcanza cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio.

 

 

Solución:

Datos: y0 = 10 cm; T = 0,1 s

PLANTEAMINETO EC MAS 11,0

a)  Ecuación del movimiento:

y = y0 sen (ω t + φ0)

Para hallar la ecuación del movimiento nos falta saber el valor de ω y de φ0.

ω = 2π/T = 2π rad/0,1 s = 20π rad/s

Si t = 0 entonces y = –y0, por tanto:

 –y0 = y0 sen (ω·0 + φ0)

sen φ0 = –1 → φ0 = arcs en (–1) = 3π/2 rad

y = 10 sen [20π t + (3π/2)], (y: cm, t: s)

b)  Dato: t = 10 s

y = 10 sen [(20π rad/s)·10 s + (3π/2) rad]

y = 10 sen (3π/2) rad = –10 cm

El resultado era previsible pues como el período es 0,1 en 10 segundos el objeto habrá dado 10 oscilaciones completas y volviendo al punto de salida.

c)  Ecuación de la velocidad:

v = 200π cos [20π t + (3π/2)], (v: cm/s, t: s)

v = 200π cos [(20π rad/s)·10 s + (3π/2)] = 0

Ecuación de la aceleración:

a = –4000π2 sen [20π t + (3π/2)], (a: cm/s2, t: s)

a = –4000π2 cm/s2

d)  La velocidad es máxima cuando cos (ω t + φ0) = ±1

De la ecuación fundamental de la trigonometría se tiene que:

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = 1

PLANTEAMINETO EC MAS 11,1

y = 10·sen 0 = 0

También se podía haber hecho de la siguiente forma:

cos (ω t + φ0) = ±1 → ω t + φ0 = 0 + kπ, k Î Z

t = (kπ – φ0)/ω

t = [kπ – (3π/2)]/20π

t = [k – (3/2)]/20

t = (2k – 3)/20 ≥ 0

2k – 3 ≥ 0 → k ≥ 3/2

t = [1/40, 3/40, 5/40,….,(2n – 1)/40] s, n = 1, 2,3,….

Sustituyendo en la ecuación del movimiento:

y = 10 sen {20π·[(2n – 1)/40] + (3π/2)}

y = 10 sen [nπ – (π/2) + (3π/2)]

y = 10 sen (nπ + π)

y = 10 sen (n + 1)·π = 0

Por tanto, la máxima velocidad se alcanza cuando el objeto pasa por el punto de equilibrio.

 

 

 


Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 10

 

Un punto oscila armónicamente recorriendo un segmento de 10 cm en 2 s. Escribe las ecuaciones del movimiento que en el instante inicial se movía hacia la izquierda con velocidad (5/4)p (cm/s) y frenando.

 

 

Solución:

Datos:

PLANTEAMINENTO EC MAS 10,1

La amplitud se cuenta desde el punto medio del recorrido, por tanto: A = 5 cm.

Si el punto tarda 2 s en ir de un extremo a otro, tardará otros 2 s en volver, luego: T = 4 s.

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

w = 2π/T = 2π rad/4 s = π rad/2 s

Condición inicial: t = 0, v0 = (–5/4)·π (cm/s)

v0 = A ω cos (ω·0 + φ0)

cos φ0 = v0/(A ω)

PLANTEAMINENTO EC MAS 10,2

Si el punto se mueve hacia la izquierda frenando, la aceleración será positiva. Si la aceleración es positiva, la posición será negativa. Si el punto está a la izquierda moviéndose en ese sentido, la fase estará entre π y 1,5π, luego la fase inicial será 1,33π rad.

Ecuación del movimiento:

x = 5 sen [(π/2) t + 1,33π],  (x: cm, t: s)

 

 


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