Archivo de junio de 2016

Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 03

 

Halla las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que el móvil inicialmente está a 35,4 cm a la izquierda del observador moviéndose hacia él con velocidad 22,2 cm/s y acelerando a 14 cm/s2.

 

 

Solución:

Datos: x0 = –35,4 cm; v0 = 22,2 cm/s; a0 = 14 cm/s2

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x

En el momento inicial (t = 0):

x0 = A sen φ0

v0 = A ω cos φ0

a0 = –A ω2 sen φ0 = –ω2 x0

De la expresión de la aceleración:

a0/x0 = –ω2

PLANTEAMIENTO EC MAS 02,1

De las expresiones de la posición y la velocidad:

sen φ0 = x0/A sen2 φ0 = (x0/A)2

cos φ0 = v0/A ω cos2 φ0 = (v0/A ω)2

sen2 φ0 + cos2 φ0 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2

1 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2

(x0/A)2 = 1 – (v0/A ω)2

x02/A2 = 1 – (v0/A ω)2

x02 = A2 – (v022)

A2 = x02 + (v022)

A2 = x02 + [v02/(–a0/x0)]

A2 = x02 – (x0 v02/a0)

A2 = x02 – (x02 v02/x0 a0)

A2 = x02 [1 – (v02/x0 a0)]

PLANTEAMIENTO EC MAS 02,2

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Para saber la solución que se debe tomar debemos tener en cuenta que, inicialmente, el móvil ser encuentra a la izquierda del observador, luego la elongación ha de ser negativa y la velocidad y la aceleración positivas (se dirigen hacia la derecha)

sen 0,79 = 0,71 No

sen (–0,79) = –0,71 Si

  cos 0,79 = 0,70 Si

cos (–0,79) = 0,70 Si

Por lo tanto el resultado es:

φ0 = –0,79

Ecuaciones del movimiento completas:

x = 50·sen (0,633 t – 0,79), (x: cm, t: s)

v = 31,65·cos (0,633 t – 0,79), (v: cm/s, t: s)

a = –20·sen (0,633 t – 0,79), (a: cm/s2, t: s)

 

 

 

Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 02

 

Una partícula, que se mueve con un m.a.s, recorre un segmento de 8 cm. La frecuencia del movimiento es igual a 10 s–1 y cuando t = 0, la partícula se encuentra en el punto de máxima elongación. Halla:

a)    La ecuación del movimiento.

b)    La velocidad para t = 0.

c)    La aceleración para t = 0.

 

 

Solución:

Datos: A = 8/2 cm; f = 10 s–1

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

a)  Para hallar la ecuación del movimiento nos falta saber el valor de ω y de φ0.

Según el enunciado del problema, cuando t = 0, x = A (máxima elongación), luego:

A = A sen φ0 sen φ0 = A/A = 1 φ0 = π/2 rad

Ahora debemos hallar ω.

ω = 2π/T

T = 1/f ω = 2π f x = A sen (2π·f·t + φ0)

x = 4 sen [2π·10·t + (π/2)]

 x = 4 sen [20π t + (π/2)], (x en cm, t en segundos)

b)  Dato: t = 0.

v = 4·20π·cos [20π·0 + (π/2)] = 0

c)  Dato: t = 0.

a = –4·(20π)2·sen [20π·0 + (π/2)] = –1600π2 cm/s2

 

 

Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 24

 

Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado de un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y período 2 s.

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; T = 2 s

Elongación, velocidad y aceleración máximas:

Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:

xmax = A, vmax = A ω, amax = A ω2

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

Velocidad máxima:

vmax = 10 cm· π rad/s = 31,4 cm/s

Aceleración maxima:

amax = 10 cm·(π rad/s)2 = 98,7 cm/s2

 

 

 

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