El Sapo Sabio

Archivo de junio de 2016

 

Halla las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que el móvil inicialmente está a 35,4 cm a la izquierda del observador moviéndose hacia él con velocidad 22,2 cm/s y acelerando a 14 cm/s².

 

 

Solución:

Datos: x₀ = –35,4 cm; v₀ = 22,2 cm/s; a₀ = 14 cm/s²

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) = –ω² x

En el momento inicial (t = 0):

x₀ = A sen φ₀

v₀ = A ω cos φ₀

a₀ = –A ω² sen φ₀ = –ω² x₀

De la expresión de la aceleración:

a₀/x₀ = –ω²

De las expresiones de la posición y la velocidad:

sen φ₀ = x₀/A → sen² φ₀ = (x₀/A)²

cos φ₀ = v₀/A ω → cos² φ₀ = (v₀/A ω)²

sen² φ₀ + cos² φ₀ = (x₀/A)² + (v₀/A ω)²

1 = (x₀/A)² + (v₀/A ω)²

(x₀/A)² = 1 – (v₀/A ω)²

x₀²/A² = 1 – (v₀/A ω)²

x₀² = A² – (v₀²/ω²)

A² = x₀² + (v₀²/ω²)

A² = x₀² + [v₀²/(–a₀/x₀)]

A² = x₀² – (x₀ v₀²/a₀)

A² = x₀² – (x₀² v₀²/x₀ a₀)

A² = x₀² [1 – (v₀²/x₀ a₀)]

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Para saber la solución que se debe tomar debemos tener en cuenta que, inicialmente, el móvil ser encuentra a la izquierda del observador, luego la elongación ha de ser negativa y la velocidad y la aceleración positivas (se dirigen hacia la derecha)

sen 0,79 = 0,71 No

sen (–0,79) = –0,71 Si

  cos 0,79 = 0,70 Si

cos (–0,79) = 0,70 Si

Por lo tanto el resultado es:

φ₀ = –0,79

Ecuaciones del movimiento completas:

x = 50·sen (0,633 t – 0,79), (x: cm, t: s)

v = 31,65·cos (0,633 t – 0,79), (v: cm/s, t: s)

a = –20·sen (0,633 t – 0,79), (a: cm/s², t: s)

 

 

 

 

Una partícula, que se mueve con un m.a.s, recorre un segmento de 8 cm. La frecuencia del movimiento es igual a 10 s^–1 y cuando t = 0, la partícula se encuentra en el punto de máxima elongación. Halla:

a)    La ecuación del movimiento.

b)    La velocidad para t = 0.

c)    La aceleración para t = 0.

 

 

Solución:

Datos: A = 8/2 cm; f = 10 s^–1

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)  Para hallar la ecuación del movimiento nos falta saber el valor de ω y de φ₀.

Según el enunciado del problema, cuando t = 0, x = A (máxima elongación), luego:

A = A sen φ₀ → sen φ₀ = A/A = 1 → φ₀ = π/2 rad

Ahora debemos hallar ω.

ω = 2π/T

T = 1/f → ω = 2π f → x = A sen (2π·f·t + φ₀)

x = 4 sen [2π·10·t + (π/2)]

 x = 4 sen [20π t + (π/2)], (x en cm, t en segundos)

b)  Dato: t = 0.

v = 4·20π·cos [20π·0 + (π/2)] = 0

c)  Dato: t = 0.

a = –4·(20π)²·sen [20π·0 + (π/2)] = –1600π² cm/s²

 

 

 

Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado de un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y período 2 s.

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; T = 2 s

Elongación, velocidad y aceleración máximas:

Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:

x_max = A, v_max = A ω, a_max = A ω²

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

Velocidad máxima:

v_max = 10 cm· π rad/s = 31,4 cm/s

Aceleración maxima:

a_max = 10 cm·(π rad/s)² = 98,7 cm/s²