El Sapo Sabio

Archivo de junio de 2016

 

Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0,2 s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, halla:

a)  La ecuación que representa el movimiento del cuerpo.

b)  La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s.

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; T = 0,2 s; t₀ = 0 → v₀ = 0 → x₀ positiva.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)  Primero hallaremos el valor de la fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π rad/0,2 s = 10π rad/s

Ahora determinaremos la fase inicial (φ₀):

0 = A ω cos (ω·0 + φ₀) → cos φ₀ = 0

φ₀ = arc cos 0

Primera solución:

φ₀ = π/2 rad

Segunda solución:

φ₀ = 3π/2 rad

En la solución inicial k = 0.

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del coseno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con seno (Posición)

x₀ = A sen (π/2) = A

x₀ = A sen (3π/2) = –A

Esta última solución no sirve porque da una elongación inicial negativa (En la izquierda)

La fase inicial es φ₀ = π/2.

Era evidente el resultado obtenido.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

Parámetros: A = 10 cm, ω = 10π rad/s, φ₀ = π/2 rad

b)  Dato: t₁ = 0,25 s

v₁ = 10 cm·(10π rad/s)·cos [10π (rad/s)·0,25 s + (π/2) rad] = –314 cm/s

El cuerpo se mueve hacia la izquierda.

 

 

 

 

Halla las ecuaciones de un m.a.s de amplitud 25 cm y frecuencia angular 100  rad/s, sabiendo que en el instante inicial el móvil esta en el origen moviéndose hacia la izquierda.

 

 

Solución:

Datos: A = 25 cm; f = 100 rad/s; v < 0

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Aplicadas a la situación inicial:

x₀ = A sen φ₀

v₀ = A ω cos φ₀

De la ecuación de posición, tenemos que:

 sen φ₀ = x₀/A

φ₀ = arc sen (0/25 cm) = arc sen 0

Primera solución:

φ₀ = 0

Segunda solución:

φ₀ = π rad

No se añade 2kπ a las soluciones porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v₀ = A ω cos 0 = A ω (No)

v₀ = A ω cos π rad = – A ω

La fase inicial es π.

Era evidente el valor de la fase (El móvil se encuentra en el origen de su recorrido)

Ecuaciones completas:

x = 25 sen (100 t + π)

v = 2500 cos (100 t + π)

a = –25·10⁴ sen (100 t + π)

(t: s, x: cm, v: cm/s, a: cm/s²)

 

 

 

 

Escribe las ecuaciones de un m.a.s de frecuencia 10 ciclos y velocidad máxima 40π cm/s, sabiendo que en el instante inicial el móvil se encuentra en el extremo izquierdo de su recorrido.

 

 

Solución:

Datos: f = 10 cs; v_max = 40π cm/s

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Como:

v_max = A ω → A = v_max/ω

ω = 2π·f = 2π rad·10 s^–1 = 20π rad/s

A = (40π cm/s)/(20π rad/s) = 2 cm

Ahora debemos tener en cuenta que cuando t = 0, x₀ = –2 cm. 

x₀ = A sen φ₀ → sen φ₀ = x₀/A

φ₀ = arc sen (–A/A) = arc sen (–1)

φ₀ = (3π/2) rad

No se añade 2kπ a las soluciones porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)

Era evidente el valor de la fase (El móvil se encuentra en el extremo izquierdo de su recorrido)

Ecuaciones completas:

x = 2 sen [(20π t + (3π/2)]

v = 40π cos [(20π t + (3π/2)]

a = –8·10² π² sen [(20π t + (3π/2)]

(t: s, x: cm, v: cm/s, a: cm/s²)