Archivo de junio de 2016
Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 06
Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0,2 s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, halla:
a) La ecuación que representa el movimiento del cuerpo.
b) La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s.
Solución:
Datos: A = 10 cm; T = 0,2 s; t0 = 0 → v0 = 0 → x0 positiva.
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
a) Primero hallaremos el valor de la fase angular (ω):
ω = 2π/T = 2π rad/0,2 s = 10π rad/s
Ahora determinaremos la fase inicial (φ0):
0 = A ω cos (ω·0 + φ0) → cos φ0 = 0
φ0 = arc cos 0
Primera solución:
φ0 = π/2 rad
Segunda solución:
φ0 = 3π/2 rad
En la solución inicial k = 0.
Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del coseno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con seno (Posición)
x0 = A sen (π/2) = A
x0 = A sen (3π/2) = –A
Esta última solución no sirve porque da una elongación inicial negativa (En la izquierda)
La fase inicial es φ0 = π/2.
Era evidente el resultado obtenido.
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
Parámetros: A = 10 cm, ω = 10π rad/s, φ0 = π/2 rad
b) Dato: t1 = 0,25 s
v1 = 10 cm·(10π rad/s)·cos [10π (rad/s)·0,25 s + (π/2) rad] = –314 cm/s
El cuerpo se mueve hacia la izquierda.
Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 05
Halla las ecuaciones de un m.a.s de amplitud 25 cm y frecuencia angular 100 rad/s, sabiendo que en el instante inicial el móvil esta en el origen moviéndose hacia la izquierda.
Solución:
Datos: A = 25 cm; f = 100 rad/s; v < 0
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
Aplicadas a la situación inicial:
x0 = A sen φ0
v0 = A ω cos φ0
De la ecuación de posición, tenemos que:
sen φ0 = x0/A
φ0 = arc sen (0/25 cm) = arc sen 0
Primera solución:
φ0 = 0
Segunda solución:
φ0 = π rad
No se añade 2kπ a las soluciones porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)
Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)
v0 = A ω cos 0 = A ω (No)
v0 = A ω cos π rad = – A ω
La fase inicial es π.
Era evidente el valor de la fase (El móvil se encuentra en el origen de su recorrido)
Ecuaciones completas:
x = 25 sen (100 t + π)
v = 2500 cos (100 t + π)
a = –25·104 sen (100 t + π)
(t: s, x: cm, v: cm/s, a: cm/s2)
Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 04
Escribe las ecuaciones de un m.a.s de frecuencia 10 ciclos y velocidad máxima 40π cm/s, sabiendo que en el instante inicial el móvil se encuentra en el extremo izquierdo de su recorrido.
Solución:
Datos: f = 10 cs; vmax = 40π cm/s
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
Como:
vmax = A ω → A = vmax/ω
ω = 2π·f = 2π rad·10 s–1 = 20π rad/s
A = (40π cm/s)/(20π rad/s) = 2 cm
Ahora debemos tener en cuenta que cuando t = 0, x0 = –2 cm.
x0 = A sen φ0 → sen φ0 = x0/A
φ0 = arc sen (–A/A) = arc sen (–1)
φ0 = (3π/2) rad
No se añade 2kπ a las soluciones porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)
Era evidente el valor de la fase (El móvil se encuentra en el extremo izquierdo de su recorrido)
Ecuaciones completas:
x = 2 sen [(20π t + (3π/2)]
v = 40π cos [(20π t + (3π/2)]
a = –8·102 π2 sen [(20π t + (3π/2)]
(t: s, x: cm, v: cm/s, a: cm/s2)