Archivo de mayo de 2016

Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 18

 

Un punto oscila armónicamente con amplitud 0,4 cm, frecuencia 100 cs. Su posición y velocidad iniciales eran respectivamente: 0,28 cm y 178 cm/s. Calcula:

a)  Velocidad cuando pasa por el origen.

b)  Tiempo que tarda en ir de un extremo a otro de su trayectoria.

c)  Aceleración cuando su velocidad es de 100 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: A = 0,4 cm; f = 100 cs; x0 = 0,28 cm; v0 = 178 cm/s

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

a)  Dato: x1 = 0

De las expresiones de la posición y la velocidad tenemos que:

x1 = A sen (ω t1 + φ0) → sen (ω t1 + φ0) = x1/A

sen2 (ω t1 + φ0) = (x1/A)2

v1 = A ω cos (ω t1 + φ0) → cos (ω t1 + φ0)  = v1/A ω

cos2 (ω t1 + φ0) = (v1/A ω)2

sen2 (ω t1 + φ0) + cos2 (ω t1 + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A ω)2

1 = (x1/A)2 + (v1/A ω)2

(v1/A ω)2 = 1 – (x1/A)2

APLIC EC MAS 18, 1

Fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π·f

ω = 2π rad·100 s1 = 200π rad/s

APLIC EC MAS 18, 2

Se obtienen dos velocidades iguales y opuestas porque el móvil pasa por el origen a la ida y al regreso.

b)  Primero calcularemos cuándo está el móvil en cada extremo de la trayectoria para lo cual necesitaremos conocer el valor de la fase inicial.

Cálculo de la fase inicial:

x0 = A sen (ω·0 + φ0) = A sen φ0

sen φ0 = x0/A → φ0 = arc sen (x0/A)

φ0 = arc sen (0,28 cm/0,4 cm) = arc sen 0,7

Primera solución:

φ0 = 0,775 rad

Segunda solución:

φ0 = π rad – 0,775 rad = 2,37 rad 

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v0 = 0,4 ·200π·cos (0,775) = 180 cm/s

 v0 = 0,4 ·200π·cos (2,37) = –180 cm/s cm/s (No)

No sale exactamente la velocidad dada (178 cm/s) debido a los redondeos.

Luego la fase inicial es: 0,775 rad.

Extremo derecho: x2 = A

x2 = A sen (ω t2 + φ0)

sen (ω t2 + φ0) = x2/A

 ω t2 + φ0 = arc sen (x2/A) → ω t2 + φ0 = arc sen (A/A)

  ω t2 + φ0 = arc sen 1 = [(π/2) + 2k π] rad

200π (rad/s) t2 + 0,775 rad = [(π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 = [(π/2) + 2kπ)] rad –  0,775 rad

t2 = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t2 = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t2 = (0,001,27 + 0,01k) s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t2 = 0,00127 s

k = 1 → t2 = 1,00123 s

 k = 2 → t2 = 2,00123 s

……………

En el extremo izquierdo: x3 = –A

x3 = A sen (ω t2 + φ0)

sen (ω t2 + φ0) = x3/A

 ω t2 + φ0 = arc sen (x3/A) → ω t2 + φ0 = arc sen (–A/A)  

ω t2 + φ0 = arc sen (–1) =  [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 + 0,775 rad = [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 = [(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad

t2 = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t2 = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t2 = (0,00627 + 0,01k)] s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t2 = 0,0627 s

k = 1 → t2 = 1,063 s

k = 2 → t2 = 2,063 s

……………

El primer extremo por el que pasa es el derecho (t = 0,00127 s), después pasa por el izquierdo (t = 0,0627 s). En el recorrido de uno a otro se invierte un tiempo de:

∆t = 0,0627 s – 0,00127 s = 0,005 s

 Lógico, el tiempo que tarda en ir de un extremo al otro es la mitad del período.

c)  Dato: v = 100 cm/s

v = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v/A ω

cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = –a/A ω2

sen2 (ω t + φ0) = (–a/A ω2)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (–a/A ω2)2 + (v/A ω)2

1 = (–a/A ω2)2 + (v/A ω)2

(a/A ω2)2 = 1 – (v/A ω)2 

APLIC EC MAS 18, 3

A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Porque la misma velocidad se tiene en dos posiciones simétricas a las que corresponden  aceleraciones iguales y opuestas)

 

 


Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 17

 

Una partícula oscila armónicamente recorriendo un segmento de 12 cm de longitud sobre el eje X y tardando 2 s en realizar una oscilación completa. Inicialmente la partícula tenía una elongación de –3 cm  y se movía en el sentido positivo del eje. Determina su posición, velocidad y aceleración en el instante t = 1/6 s.

 

 

Solución:

Datos: A = 12 cm/2 = 6 cm; T = 2 s;  t0 = 0; x0 = –3 cm; t = 1/6 s

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

Cálculo de la fase inicial:

x0 = A sen (ω·0 + φ0) = A sen φ0

sen φ0 = x0/A → φ0 = arc sen (x0/A)

φ0 = arc sen (–3 cm/6 cm) = arc sen (–1/2)

Primera solución:

φ0 = 7π/6

Segunda solución:

φ0 = 11π/6

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Para saber la solución que se debe tomar, utilizaremos la ecuación de la velocidad, teniendo en cuenta que como el móvil se dirige hacia la derecha la velocidad ha de ser positiva.

v0 = A ω cos (7π/6) = –0,86 A ω  (No)

 v0 = A ω cos (11π/6) = 0,86 A ω  

Luego la fase inicial es φ0 = 11π/6 rad

Fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

x1 = 6 cm·sen [(π rad/s)·(1/6) s + (11π/6) rad]

x1 = 0

v1 = = 6 cm·(π rad/s)·cos [(π rad/s)·(1/6) s + (11π/6) rad]

v1 = 18,8 cm/s

a1 = –6 cm·(π rad/s)2·sen [(π rad/s)·(1/6) s + (11π/6) rad]

a1 = 0

 


Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 16

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = A sen [(2·π·t/T) + (π/2)]. Determina cuánto tardará en ir:

a)  Del extremo derecho a la posición x = A/2.

b)  De la posición x = A/2 al centro.

c)  Del centro a la posición x = –A/2.

d)  De la posición x = –A/2 al extremo izquierdo.

 

 

Solución:

Ecuación del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

Vamos a calcular cuándo está el móvil en cada una de las posiciones:

x1 = A:

x1 = A sen (ω t1 + φ0)

ω t1 + φ0 = arc sen (x1/A)

ω t1 + φ0 = arc sen (A/A) = arc sen (1)

ω t1 + (π/2) rad = [(π/2) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t1 = [(π/2) – (π/2) + 2kπ] rad

t1 = 2kπ rad/(2π rad/T)

t1 = k T

t1 = 0, T, 2T, 3T,…

x2 = A/2:

x2 = A sen (ω t2 + φ0)

ω t2 + φ0 = arc sen (x2/A)

ω t2 + φ0 = arc sen [(A/2)/A] = arc sen (1/2)

Primera solución:

ω t2 + (π/2) rad = [(π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t2 = [(π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t2 = [–(π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t2 = (–T/6) + k T

t2 = 0, –T/6, 5T/6, 11T/6,…

Segunda solución:

ω t2 + (π/2) rad = [(5π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t2 = [(5π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t2 = [(2π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t2 = (T/6) + k T

t2 = 0, T/6, 7T/6,…

t2 = T/6, 5T/6, 7T/6, 11T/6,…

x3 = 0:

x3 = A sen (ω t3 + φ0)

ω t3 + φ0 = arc sen (x3/A)

ω t3 + φ0 = arc sen (0/2) = arc sen 0

Primera solución:

ω t3 + (π/2) rad = (0 + 2kπ) rad

(2π rad/T)·t3 = [0 – (π/2) + 2kπ] rad

t3 = [–(π/2) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t3 = (–T/4) + k T

t3 = –T/4, 3T/4, 7T/4,…

Segunda solución:

ω t3 + (π/2) rad = (π + 2kπ) rad

(2π rad/T)·t3 = [π – (π/2) + 2kπ] rad

t3 = [(π/2) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t3 = (T/4) + k T

t3 = T/4, 5T/4,…

t3 = T/4, 3T/4, 5T/4, 7T/4,…

x4 = –A/2:

x4 = A sen (ω t4 + φ0)

ω t4 + φ0 = arc sen (x4/A)

ω t4 + φ0 = arc sen [(–A/2)/A] = arc sen (–1/2)

Primera solución:

ω t4 + (π/2) rad = [(7π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t4 = [(7π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t4 = [(4π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t4 = (T/3) + k T

t4 = T/3, 4T/3,…

Segunda solución:

ω t4 + (π/2) rad = [(11π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t4 = [(11π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t4 = [(4π/3) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t4 = (2T/3) + k T

t4 = 2T/3, 5T/3,…

t4 = T/3, 2T/3, 4T/3, 5T/3,…

x1 = –A:

x5 = A sen (ω t5 + φ0)

ω t5 + φ0 = arc sen (x5/A)

ω t5 + φ0 = arc sen (–A/A) = arc sen (–1)

ω t5 + (π/2) rad = [(3π/2) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t5 = [(3π/2) – (π/2) + 2kπ] rad

t5 = (π + 2kπ) rad/(2π rad/T)

t5 = (T/2) + k T

t5 = T/2, 3T/2, 5T/2, 7T/2,…

El tiempo que tarda el móvil en ir de un punto a otro se obtendrá restando los valores del tiempo cuando el móvil pasa por ellos por primera vez yendo en  el mismo sentido.

a)  Sentido negativo: 

Origen: x = A

Destino: x = A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t2 – t1 = (T/6) – 0 = T/6

Sentido positivo:

Origen: x = –A

Destino: x = –A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t4 – t5 = (2T/3) – (T/2) = T/6

b)  Sentido negativo: 

Origen: x = A/2

Destino: x = 0

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t3 – t2 = (T/4) – (T/6) = T/12

Sentido positivo:

Origen: x = –A/2

Destino: x = 0

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t3 – t4 = (3T/4) – (2T/3) = T/12

c)  Sentido negativo: 

Origen: x = 0

Destino: x = –A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t4 – t3 = (T/3) – (T/4) = T/12

Sentido positivo:

Origen: x = 0

Destino: x = A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t2 – t3 = (5T/6) – (3T/4) = T/12

d)  Sentido negativo: 

Origen: x = –A/2

Destino: x = –A

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t5 – t4 = (T/2) – (T/3) = T/6

Sentido positivo:

Origen: x = A/2

Destino: x = A

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t1 – t2 = (T) – (5T/6) = T/6

Resumen:

Para el mismo recorrido el tiempo invertido es igual en la ida que en la vuelta. Es decir, se tarda el mismo tiempo en hacer recorridos simétricos respecto al origen.

Desde cada extremo al centro se tarda T/4 y de extremo a extremo T/2.

Desde el origen hasta la mitad de la amplitud se invierte la mitad de lo que se necesita desde la mitad de la amplitud hasta el extremo.

APLIC EC MAS 10

 

 


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