El Sapo Sabio

Archivo de mayo de 2016

 

Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple cuya amplitud y período son respectivamente 10 cm y 4 s. En el instante inicial, t = 0, la elongación vale 10 cm. Determina la elongación en el instante t = 1.

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; T = 4 s; t₀ = 0; x₀ = 10 cm; t₁ = 1 s

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π rad/4 s = (π/2) rad/s

Cálculo de la fase inicial:

x₀ = A sen (ω·0 + φ₀) = A sen φ₀

sen φ₀ = x₀/A → φ₀ = arc sen (10 cm/10 cm) = 1

φ₀ = arc sen 1 = (π/2) rad

Aplicación:

x₁ = A sen (ω t₁ + φ₀)

x₁ = 10 cm· sen [(π/2)·( rad/s)·1 s + (π/2) rad] = 0

v₁ = A ω cos (ω t₁ + φ₀)

v₁ = 10 cm·(π/2)·( rad/s)·cos [(π/2)·( rad/s)·1 s + (π/2) rad] = –15,7 cm/s

El cuerpo está en el origen moviéndose hacia la izquierda.

Era evidente el resultado obtenido, pues del extremo al centro se tarda un cuarto de período que en este caso es un segundo.

 

 

 

 

Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición x = 0, con una frecuencia de 200 Hz. Si en el instante inicial (t = 0) la posición de la partícula es x₀ = 10 mm y su velocidad es nula, determina en qué instante será máxima la velocidad de la misma.

 

 

Solución:

Datos: f = 200 Hz; x₀ = 10 mm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

Cálculo de los parámetros:

Si la partícula está detenida a 10 mm del origen, la amplitud del movimiento será 10 mm, o sea, A = 10 mm.

ω = 2π f = 2π rad·200·(s^–1) = 400π rad/s

Para hallar la fase inicial aplicaremos la ecuación de posición a la situación inicial: t₀ = 0, x₀ = A.

A = A sen (ω·0 + φ₀) → 1 = sen  φ₀

φ₀ = π/2

No se añade k·2π a la solución porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)

Ecuación de la velocidad:

v₁ = A ω cos (ω t₁ + φ₀)

La velocidad máxima se puede alcanzar en sentido positivo o negativo, es decir:

Primera solución:

t₁ = [2π k – (π/2)]/ω = [2π k rad – (π/2) rad]/(400π rad/s)

t₁ = [2 k rad – (1/2) rad]/(400 rad/s) = [–(1/8) + (1/2)·k]·10^–2 s

k = 0 → t₁ = –1,25·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 3,75·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 8,75·10^–3 s

……….

Segunda solución:

t₁ = [π + 2π k – (π/2)]/ω = [(π/2) rad + 2π k rad]/(400π rad/s)

t₁ = [(1/2) rad + 2 k rad]/(400 rad/s) = [(1/8) + (1/2)·k]·10^–2 s

k = 0 → t₁ = 1,25·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 6,75·10^–3 s

……….

t₁ = (1,25; 3,75; 6,75; 8,75;…) ms

 

 

 

La ecuación del movimiento de una partícula es x = A sen (ω t + φ₀). El tiempo que tarda en realizar una oscilación completa es de 2 s y la trayectoria que describe es un segmento de 12 cm de longitud sobre el eje OX y coincidiendo su punto medio con el origen de coordenadas. Se sabe que en el instante inicial la partícula se encontraba a una distancia A/2 del origen, moviéndose en el sentido positivo del eje OX.

a)  Halla los valores de A, ω, φ.

b)  Posición y velocidad de la partícula en el instante t = 1/6 s.

 

 

Solución:

Datos: T = 2 s; d = 12 cm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)     

A = d/2 = 12 cm/2 = 6 cm

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

Cuando t₀ = 0, x₀ = A/2 siendo v₀ positiva, luego:

A/2 = A sen (ω·0 + φ₀) → ½ = sen φ₀

φ₀ = arc sen 0,5

Primera solución:

φ₀ = π/6 rad

Segunda solución:

φ₀ = 5π/6 rad

No se consideran las repeticiones porque en la solución inicial k = 0.

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v₀ = A ω cos (π/6) = 0,87 A ω

v₀ = A ω cos (5π/6) = –0,87 A ω

Esta última solución no sirve porque da una velocidad inicial negativa (Hacia la izquierda)

La fase inicial es φ₀ = π/6.

b)  Dato: t₁ = 1/6 s

x₁ = 6 cm·sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 5,2 cm

v₁ = 6 cm·π rad·cos [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 9,42 cm/s

a₁ = –6 cm·(π rad)² sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = –51,3 cm/s²

La particular está a la derecha del observador (0) moviéndose hacia la derecha frenando.