Archivo de marzo de 2016

Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 27

 

Un móvil describe una circunferencia de 2 m de radio, siendo la ecuación de su movimiento φ = t2 – 0,5t + 2. Calcula:

a)  Ecuaciones de velocidad y aceleración angulares.

b)  Posición y velocidad angular iniciales.

c)  ¿En qué momento pasa por el origen?

d)  ¿En qué momento cambia el sentido de giro?

 

 

Solución:

Dato: R = 2 m

a)  Ecuación de la velocidad angular:

ω = dφ/dt = 2t – 0,5

Ecuación de la aceleración angular:

α = dω/dt = 2

b)  Posición inicial:

φ0 (0) = 02 – 0,5·0 + 2 = 2

Velocidad angular inicial:

ω0 (0) = 2·0 – 0,5 = –0,5

Los resultados hasta ahora obtenidos también se podían haber hallado comparando la ecuación del movimiento dada con la expresión del movimiento circular uniformemente acelerado, es decir:

φ = t2 – 0,5t + 2               φ = φ0 + ω0 t + (1/2) α t2

de donde:

φ0 = 2 rad; ω0 = –0,5 rad/s; (1/2)α = 1 → α = 2 rad/s2

c)   

MCUA ESPACIO 27,1

Como la aceleración es de sentido opuesto al de la velocidad, primero debemos averiguar si el móvil pasa, en el sentido que se nueve, por el origen.        Si es así, cuando lo haga se cumplirá que φ = 0. Por tanto:

t2 – 0,5t + 2 = 0

MCUA ESPACIO 27,2

Según el resultado obtenido el móvil no pasa por el origen cuando se desplaza en sentido de las agujas del reloj, pero a consecuencia de la aceleración, que cuyo sentido es opuesto al de la velocidad, se detiene y, después, puede seguir moviéndose en sentido opuesto al de las agujas del reloj con lo cual puede pasar por el origen. 

MCUA ESPACIO 27,3

Ecuaciones del movimiento:

ω' = α t                 φ’ = φ’0 + (1/2) α t2

siendo φ’0 la posición donde se encuentra el móvil al detenerse tras desplazarse en sentido de las agujas del reloj.

Ahora se debe hallar el valor de φ’0:

Cuando el móvil se detiene, ω = 0, luego:

2t – 0,5 = 0 → 2t = 0,5 → t = 0,5/2 = 0,25 s

φ'0 = φ = 0,252 – 0,5·0,25 + 2 = 1,94 rad

El móvil pasa por el origen cuando φ’ = 0 + 2 k π (k es un número natural), luego:

1,94 + t2 = 0 + 2π k → t2 = 2π k – 1,94

MCUA ESPACIO 27,4

Para que la raíz tenga soluciones reales:

2πk – 1,94 ≥ 0 → 2πk ≥ 1,94

k ≥ 1,94/2π → k ≥ 0,31

k = 1 → t1 = 2,08 s

k = 2 → t2 = 3,26 s

k = 3 → t3 = 4,11 s

k = 4 → t4 = 4,82 s

……

……

Luego los momentos en los que el móvil pasa por origen son:

t = (2,08; 3,26; 4,11; 4,82;…) s

El móvil cada vez tarda menos tiempo en dar una vuelta porque está acelerando.

d)  Según hemos visto en el apartado anterior el móvil cambia de sentido cuando:

t = 0,25 s

 

 

Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 26

 

Un tren parte del reposo por una vía circular de 400 m de radio y se mueve con m.u.a hasta que a los 25 segundos de iniciada la marcha alcanza la velocidad de 36 km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Halla:

a)  La aceleración tangencial en la primera parte de su movimiento.

b)  La aceleración normal en el instante  t = 25 s.

c)  La aceleración total en dicho instante.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; R = 400 m; t = 25 s → v = 36 km/h = 10 m/s

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

Relación de las magnitudes lineales y angulares;

x = φ R        v = ω R        a = α R

a)  Aceleración tangencial (at):

at = α R

Como v0 = 0 entonces ω0 = 0, por lo tanto:

ω = α t → α = ω/t

v = ω R → ω = v/R

α = (v/R)/t = v/R t

at = (v/R t)·R = v/t

at = (10 m/s)/25 s = 0,4 m/s2

También se puede realizar aplicando la ecuación de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es decir;

v = v0 + a t

b)  Dato: t = 25 s.

an = v2/R

an = (10 m /s)2/400 m = 0,25 m/s2

c)    

a2 = at2 + an2

MCUA ESPACIO 26

 

 


Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 25

 

Una partícula gira a 3000 rpm en la periferia de una superficie de 0,5 m de radio y se detiene 20 s después de la acción de un freno. Calcula:

a)  Aceleración angular.

b)  Número de vueltas hasta que para.

c)  Aceleración tangencial durante los 20 segundos y normal cuando gira a 3000 rpm.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 3000 rpm; R = 0,5 m; t = 20 s; ω = 0

MCUA ESPACIO 09

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

Relación de las magnitudes lineales y angulares;

x = φ R        v = ω R        a = α R

Antes de resolver los diferentes apartados de este problema pasaremos al sistema internacional el valor de la velocidad angular inicial.

ω0 = 3000 (rev/min)·(2π rad/rev)·(min/60 s) = 100π rad/s

a) 

ω = ω0 – α t → α t = ω0 – ω

α = (ω0 – ω)/t

α = [(100π rad/s) – 0)]/20 s = 5π rad/s2

 

b) 

φ = (100π rad/s)·20 s – (1/2)·(5π rad/s2)·(20 s)2

φ = 2000π rad – 1000π rad = 1000π rad

φ = 1000π rad·(rev/2π rad) = 500 rev o vueltas

c)  Aceleración tangencial:

at = α R = (5π rad/s2)·0,5 m = 2,5π m/s2 = 7,85 m/s2

Aceleración normal:

an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R

an = (100π rad/s)2·0,5 m = 49348 m/s2

 

 


AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Comentarios recientes
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo