Archivo de marzo de 2016

Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 30

 

Un disco de 20 cm de diámetro está girando cuando se le aplica un freno de forma que se detiene en 4 s, habiendo dado una vuelta completa. Calcula:

a)  Velocidad inicial y aceleración de frenado.

b)  Aceleración de un punto de la periferia en el instante inicial y ángulo formado por velocidad y aceleración.

 

 

Solución:

Datos: D = 20 cm; t = 4 s → ω = 0 → φ = 1 v

MCUA ESPACIO, 17,7

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

a)  De la primera ecuación despejaremos la velocidad angular inicial:

ω0 = ω + a t

Cuando el disco se detiene ω = 0, por tanto

ω0 = a t → a = ω0/t

Ahora sustituiremos en la segunda ecuación:

φ = ω0 t – (1/2) (ω0/t) t2

φ = ω0 t – (1/2) ω0 t

φ = (1/2) ω0 t

ω0 = 2 φ/t

Velocidad inicial:

 ω0 = 2·1 v/4s = 2·2 π rad/4 s = π rad/s

Aceleración de frenado:

a = (π rad/s)/4 s = (π/4) rad/s2

b)  Aceleración tangencial:

at = a R

 

MCUA ESPACIO, 29,1

 

Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:

γ = 90º + θ

siendo cos θ = an/a.

Ecuaciones de la aceleración:

a2 = at2 + an2

Aceleración tangencial (at):

at = α R

        

Aceleración normal (an):

an = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R

MCUA ESPACIO, 30, 1

θ = arc cos 0,997 = 0,077 rad (180º/θ rad) = 4,44º

γ = 90º + 4,44º = 94,44º

También se puede hacer de la siguiente forma:

tg θ = at/an

an = ω02 R

tg θ = at02 R → θ = arc tg (at02 R)

MCUA ESPACIO, 30, 2

θ = 8,11·10–2 rad (180º/π rad) = 4,6º

γ = 90º + 4,46º = 94,6º

Existe una pequeña diferencia debida al uso de números decimales y a que se utilizan diferentes funciones trigonométricas.

 

 


Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 29

 

Un punto está girando con velocidad 30 r.p.m cuando se le aplica una deceleración de (π2/20) rad/s2. Se pide:

a)  Ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante inicial.

b)  Tiempo que tarda en dar la última vuelta.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 30 rpm; α = (π2/20) rad/s2

MCUA ESPACIO, 17,7

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

Relación de las magnitudes lineales y angulares;

x = φ R        v = ω R        a = α R

Antes de resolver los diferentes apartados de este problema pasaremos la acelaración inicial al sistema internacional.

ω0 = 30 (rev/min)·(2π rad/rev)·(min/60 s) = π rad/s

a) 

MCUA ESPACIO, 29,1

Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:

γ = 90º + θ, siendo cos θ = an/a

Ecuaciones de la aceleración:

a2 = at2 + an2

Aceleración tangencial (at):

at = α R

Aceleración normal (an):

an = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R

MCUA ESPACIO, 29, 2

θ = arc cos 0,999 = 2,56º

γ = 90º + 2,56º = 92,56º

b)  El tiempo que tarda en dar la última vuelta es igual al tiempo que tarda en dar todas las vueltas, menos el tiempo que tarda en dar todas las vueltas menos una vuelta.

Tiempo que tarda en dar todas las vueltas y espacio angular recorrido:

Como en la última vuelta, ω = 0, se tiene:

0 = ω0 – α t → t = ω0

φ = ω00/α) – (1/2) α (ω0/α)2 = (ω02/α) – (ω02/2α)

φ = ω02/2α

t = (π rad/s)/[(π2/20)·(rad/s2)] = (20/π) s = 6,4 s

φ = [π·(rad/s)]2/[2·(π2/20)·(rad/s2]

φ = [π2·(rad2/s2)]/[·(π2/10)·(rad/s2] = 10 rad

Tiempo que tarda en dar todas las vueltas menos la última vuelta (φ = 10 – 2π) rad:

φ = ω0 t – (1/2) α t2 → (1/2) α t2 – ω0 t + φ = 0

MCUA ESPACIO, 29, 3

El primer resultado no tiene sentido, ya que supera el tiempo que se tarda en dar todas las vueltas (6,4 s). Por tanto la solución es t = 1,3 s.

Tiempo que tarda en dar la última vuelta: t’ = 6,4 s – 1,3 s = 5,1 s.

 

 


Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 28

 

Un punto está recorriendo una circunferencia de 1 m de diámetro con velocidad de 300 r.p.m cuando se le aplica una aceleración de frenado de π rad/s2. Calcula cuándo pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial por segunda vez y cuál será entonces su aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad.

Comprueba dimensionalmente el resultado.

 

 

Solución:

Datos: D = 1 m → R = 0,5 m; ω0 = 300 rpm = 10π rad/s ; α = π rad/s2

MCUA ESPACIO 09

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

Cuando el punto se encuentre en la posición diametralmente opuesta a la inicial, φ = (π + 2 k π) rad.

MCUA ESPACIO 13,2

φ = ω0 t – (1/2) α t2 → (1/2) α t2 – ω0 t + φ = 0

MCUA ESAPACIO 16,3

Para interpretar los tiempos, calculamos la correspondiente velocidad del móvil:

MCUA ESPACIO, 16, 4 (II)

No puede ser que un cuerpo que gira en sentido contrario al de las agujas del reloj frenando, cambien su giro en sentido de las agujas del reloj. Un móvil frenado disminuye su velocidad hasta quedar parado, pero no invierte el sentido de su movimiento.

MCUA ESAPACIO 16

Esta solución es correcta, ya que el móvil gira en el mismo sentido que al empezar a frenar.

Dimensionalmente:

MCUA ESAPACIO 28, 1

MCUA ESAPACIO 16,6

Ahora, hay que tener en cuenta que conforme aumenta k, el radicando (contenido de la raíz) va disminuyendo y llegará un momento en que será negativo y la raíz será imaginaria.
¿Qué significa esto? Pues que el móvil no pasará más veces por esta posición, girando en el sentido en que lo hacía inicialmente.

Veamos cuándo ocurre esto:

0,98 – 0,04k ≥ 0 → 0,04k ≤ 0,98 → k ≤ 0,98/0,04

k ≤ 24,5 → k ≤ 24

En la vuelta k = 1, se produce el último pasa por la posición indicada, en el instante:

MCUA ESAPACIO 28, 2

Por tanto el punto pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial por segunda vez cuando t = 0,3 segundos.

MCUA ESAPACIO 28, 3

cos θ = at/a

a2 = at2 + an2

MCUA ESPACIO, 17,2

Aceleración tangencial:

at = α R

Aceleración normal:

an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R

MCUA ESAPACIO 28, 4

Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:

MCUA ESPACIO, 17,7

De las ecuaciones del movimiento se tiene que:

ω = ω0 – α t → t = (ω0 – ω)/α

φ = ω0 [(ω0 – ω)/α] – (1/2) α [(ω0 – ω)/α]2

φ = [(ω0 – ω)/α]·[ω0 – (ω0 – ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(2ω0 – ω0 + ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(ω0 + ω)/2]

φ = (ω0 – ω)·(ω0 + ω)/2α

φ = (ω02 – ω2)/2α

2 φ α = ω02 – ω2

ω2 = ω02 – 2 φ α

MCUA ESAPACIO 28, 5

Dimensionalmente:

MCUA ESAPACIO 28, 6

El radián es adimensional.

MCUA ESAPACIO 28, 7

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ’ = 180º – 89,8º = 90,2º

 

 


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