El Sapo Sabio

Archivo de febrero de 2016

 

Un móvil parte del reposo para recorrer una circunferencia con aceleración 1 rad/s². Determina el tiempo que tardará en dar la primera vuelta, la segunda y la tercera.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 0; α = 1 rad/s

        

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ + α t           φ = ω₀ t + (1/2) α t²

En vez de realizar los cálculos para cada uno de los casos, obtendremos la fórmula general del tiempo que se tarda en dar la vuelta número k y después la aplicaremos para cada una de las vueltas.

φ = 0 + (1/2) α t² → t² = 2φ/α

El tiempo que tarda en dar la vuelta número k, será la diferencia entre los tiempos que tarda en dar k y (k – 1) vueltas, es decir, el tiempo que tarda en dar la cuarta vuelta, es la diferencia entre el tiempo que tarda en dar cuatro vueltas y el que tarda en dar tres.

Si el móvil ha dado (k – 1) vueltas y está en el origen, φ₁ = 0 + 2·(k – 1)·π, por tanto:

 

Si el móvil ha dado k vueltas y está en el origen, φ₂ = 0 + 2kπ, por tanto:

Luego el intervalo de tiempo transcurrido será:

Primera vuelta: k = 1.

Segunda vuelta: k = 2.

Tercera vuelta: k = 3.

 

Cada vez tarda menos en dar una vuelta porque el móvil está acelerando.

 

 

 

 

Un disco de 40 cm de radio que gira con velocidad 30 r.p.m, se ve sometido a una aceleración de frenado de 0,5π rad/s². Para un punto de la periferia determina:

a)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad en el instante inicial.

b)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad, cuando el disco haya dado un cuarto de vuelta.

c)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad al cabo de 1 segundo.

 

 

Solución:

Datos: R = 0,40 m; ω₀ = 30 rpm = π rad/s; α = 0,5π rad/s²

a)    

a² = a_t² + a_n²

Aceleración tangencial:

a_t,0 = α R

Aceleración normal:

a_n,0 = v₀²/R = (ω₀ R)²/R = ω₀² R

Pero hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 80,8º = 99,2º

b)  Dato: φ = (π/2) rad

Cálculo de las aceleraciones:

a² = a_t² + a_n²

a_t = α R

a_n = v²/R = (ω R)²/R = ω² R

Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:

De las ecuaciones del movimiento se tiene que:

ω = ω₀ – α t → t = (ω₀ – ω)/α

φ = ω₀ [(ω₀ – ω)/α] – (1/2) α [(ω₀ – ω)/α]²

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[ω₀ – (ω₀ – ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(2ω₀ – ω₀ + ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω₀ – ω)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω₀² – ω²)/2α

2 φ α = ω₀² – ω²

ω² = ω₀² – 2 φ α

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ’ = 180º – 72,5º = 107,5º

c)  Dato: t = 1 s

Cálculo de las aceleraciones:

a² = a_t² + a_n²

a_t = α R

a_n = v²/R = (ω R)²/R = ω² R

Cálculo de la velocidad angular en el instante t:

De las ecuaciones del movimiento tenemos que:

ω = ω₀ – α t →  ω² = (ω₀ – α t)²

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 57,3º = 122,7º

 

 

 

Un punto está recorriendo una circunferencia con velocidad de 300 r.p.m, cuando se le aplica una aceleración de frenado de π rad/s². Calcula:

a)  Tiempo que tardará en detenerse y dónde lo hará.

b)  Velocidad angular cuando haya dado 10 vueltas.

c)  Cuándo pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 300 rpm = 10 π rad/s; α = π rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

a)  Cuando se detenga ω = 0, por tanto:

0 = ω₀ – α t → α t = ω₀ → t = ω₀/α

φ = ω₀ (ω₀/α) – (1/2) α (ω₀/α)²

φ = (ω₀²/α) – (ω₀²/2α)

φ = ω₀²/2α

Tiempo que tarda en detenerse:

t = (10π rad/s)/(π rad/s²) = 10 s

φ = (10π rad/s)²/(2π rad/s²) = 50π rad = 25 vueltas + 0º

El punto se detiene en la posición de salida tras haber pasado 25 veces por ella.

b)  Dato: φ = 10 v·(2π rad/v) = 20π rad

ω = ω₀ – α t → t = (ω₀ – ω)/α

φ = ω₀ [(ω₀ – ω)/α] – (1/2) α [(ω₀ – ω)/α]²

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[ω₀ – (ω₀ – ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(2ω₀ – ω₀ + ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω₀ – ω)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω₀² – ω²)/2α

2 φ α = ω₀² – ω²

ω² = ω₀² – 2 φ α

Se toma la velocidad positiva porque el móvil gira en sentido contrario al de las agujas del reloj, aunque lo hace cada vez más despacio.

c)  Dato: φ = (π + 2 k π) rad

 

φ = ω₀ t – (1/2) α t² → (1/2) α t² – ω₀ t + φ = 0

Para interpretar los tiempos, calculamos la correspondiente velocidad del móvil:

No puede ser que un cuerpo que gira en sentido contrario al de las agujas del reloj frenando, cambien su giro en sentido de las agujas del reloj. Un móvil frenado disminuye su velocidad hasta quedar parado, pero no invierte el sentido de su movimiento.

Esta solución es correcta, ya que el móvil gira en el mismo sentido que al empezar a frenar.

Ahora, hay que tener en cuenta que conforme aumenta k, el radicando (contenido de la raíz) va disminuyendo y llegará un momento en que será negativo y la raíz será imaginaria.
¿Qué significa esto? Pues que el móvil no pasará más veces por esta posición, girando en el sentido en que lo hacía inicialmente.

Veamos cuándo ocurre esto:

En la vuelta k = 24, se produce el último pasa por la posición indicada, en el instante:

t = (0,10; 0,30; 0,51;….;8,59) s