Archivo de febrero de 2016

Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 21

 

Un punto está girando cuando se le aplica un freno de forma que se para en 4 segundos, dando una vuelta completa. Calcula las vueltas que ha dado cuando su velocidad es la mitad de la inicial.

 

 

Solución:

Datos: ω1 = 0; t1 = 4 s; φ1 = 1 v

MCUA ESPACIO, 17,7

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

Si, ω = ω0/2:

ω0/2 = ω0 – α t → α t = ω0 – (ω0/2)

t = ω0/2α 

φ = ω00/2α) – (1/2) α (ω0/2α)2

φ = (ω02/2α) – (ω02/8α)

φ = (3ω02/8α)

Para poder resolver el problema necesitamos conocer el valor de los parámetros ω0 y α, para lo cual utilizaremos los datos del problema.

ω1 = ω0 – α t1 → 0 = ω0 – α t1 → α t1 = ω0

  α = ω0/t1

φ1 = ω0 t1 – (1/2) α t12 = ω0 t1 – (1/2)·(ω0/t1)·t12 = ω0 t1 – (1/2) ω0 t1

ω0 = 2φ1/t1

α = (2φ1/t1)/t1 = 2φ1/t12

MCUA ESPACIO 21

Es curioso que para perder la mitad de la velocidad inicial, el punto ha de recorrer tres cuartos de vuelta y para perder la otra mitad, recorre solo un cuarto de vuelta.

 

 


Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 20

 

Un motor de automóvil parte del reposo y alcanza su velocidad normal de 1200 r.p.m en 1/4 de minuto ¿Cuál es su aceleración angular y cuántas vueltas ha dado en ese tiempo?

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 0; ω = 1200 rpm = 40π rad/s; t = (1/4) min = 15 s

MCUA ESPACIO 11,1

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

Aceleración angular:

ω = 0 + α t → α = ω/t

α = (40π rad/s)/15 s = 8,38 rad/s2

Número de vueltas:

φ = 0 + (1/2) α t2

φ = (1/2)· (40π/15)·(rad/s2)·(15 s)2

φ = 300π rad = 150·(2π) rad = 150 vueltas

Nota:

La velocidad angular de un movimiento acelerado no debe darse en r.p.m, porque en cada revolución se tarda un tiempo diferente. Se hace en este caso, porque los motores aceleran hasta alcanzar una velocidad de régimen que ya mantienen constante. La velocidad de régimen, en este problema, es de 1200 r.p.m.

 

 


Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 19

 

A un móvil que gira con velocidad 90 r.p.m, se le aplica una aceleración de frenado de 2 rad/s2. Calcula el tiempo que tarda en dar la última vuelta.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 90 rpm = 3π rad/s; α = 2 rad/s2

MCUA ESPACIO, 17,7

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

Cuando el móvil se detenga ω = 0.

Tiempo que tarda en detenerse el móvil y número total de vueltas que da:

0 = ω0 – α t → α t = ω0 → t = ω0

φ = ω00/α) – (1/2) α (ω0/α)2

φ = (ω02/α) – (ω02/2α)

φ = ω02/2α

Tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta menos de las que da hasta detenerse:

φ' = φ – 2π

φ' = ω0 t’ – (1/2) α t’2 → (1/2) α t’2 – ω0 t’ + φ' = 0

MCUA ESPACIO 19,1

Para saber cuál de las dos soluciones es la que vale, se debería calcular la velocidad correspondiente a cada tiempo y tomar el que hace que el sentido de la velocidad, sea contrario al de las agujas del reloj.

También hay otra forma de averiguarlo teniendo en cuenta que el móvil se detiene en el instante t = ω0/α y que el tiempo que buscamos tiene que ser anterior, por tanto habrá que tomar la raíz negativa.

MCUA ESPACIO 19,2

Entonces el intervalo de tiempo transcurrido será:

MCUA ESPACIO 19,3

Debido a la simetría de los movimientos uniformemente acelerados, el tiempo que se tarda en dar la última vuelta, frenando con aceleración α, es el mismo que se tardaría en dar la primera vuelta, partiendo del reposo con la misma aceleración α.

 

 


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