Archivo de octubre de 2015

Tiro parabólico 33

 

TIRO PARABOLICO 33,1

Una pelota gira en un plano vertical, unida a una cuerda de 5 metros de largo, rozando el suelo en el punto más bajo de su trayectoria. La cuerda se rompe en la posición indicada en la figura (α = 40º), cuando la velocidad de la pelota es de 20 m/s. Calcula el alcance.

 

 

Solución:

Datos: R = 5 m; α = 40º; v0 = 20 m/s; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 33,2

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 sen α           vy = v0 cos α – g t

x = v0 t sen α                   y = y0 + v0 t cos α – (1/2) g t2

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cuando la pelota llegue al suelo y = 0, por tanto:

0 = y0 + v0 t cos α – (1/2) g t2

(1/2) g t2 – v0 t cos α – y0 = 0

TIRO PARABOLICO 33,3

El segundo resultado no es válido ya que da un tiempo negativo.

La pelota tarda 3,24 segundo en llegar al suelo.

Alcance:

x  = (20 m/s)·3,24 s·sen 40º = 41,65 m

 

 


Tiro parabólico 32

 

Un avión teledirigido despega del suelo moviéndose con velocidad 100 m/s formando 10º sobre la horizontal. En ese momento, un cañón situado a una distancia D, por delante del avión, dispara un proyectil a 400 m/s formando 30º sobre la horizontal. Determina el valor de D para que el proyectil haga blanco.

 

 

Solución:

Datos: v’ = 100 m/s; β = 10º; x’0 = D; v0 = 400 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 32,1

Ecuaciones del movimiento del proyectil:

vx  = v0 cos α          vy = v0 sen α – g t

x  = v0 t cos α                  y = v0 t sen α – (1/2) g t2

Ecuaciones del movimiento del avión:

v'x  = –v’0 cos β                v’y = v0 sen β

x’  = x’0 – v’0 t cos β                   y’ = v’0 t sen β

En las ecuaciones del avión no aparece g, porque el avión no es un grave.

Si se produce el encuentro las posiciones son iguales, es decir: x = x’ e y = y’.

v0 t sen α – (1/2) g t2 = v’0 t sen β

(1/2) g t2 – v0 t sen α + v’0 t sen β = 0 

t·[(1/2) g t – v0 sen α + v’0 sen β] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al instante del disparo y el despegue del avión.

Segunda solución:

(1/2) g t – v0 sen α + v’0 sen β = 0

(1/2) g t =  v0 sen α – v’0 sen β

t = 2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g

v0 t cos α = x’0 – v’0 t cos β

v0 [2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g] cos α = x’0 – v’0 [2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g] cos β    

x’0 = v0 [2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g] cos α + v’0 [2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g] cos β

x’0 = (v0 cos α + v’0 cos β)·[2·(v0 sen α – v’0 sen β)/g]

TIRO PARABOLICO 32,2

= 1,66·104 m = 16,6 km

El cañón debe colocarse a 16,6 kilómetros por delante del avión.

 

 


Tiro parabólico 31

 

Desde un punto A, situado a 10 metros de altura, se deja caer una piedra. En el mismo instante se dispara un proyectil a 100 m/s desde un punto del suelo situado a 7 metros del pie de la vertical de A. Calcular:

a)  Ángulo de tiro para que el proyectil impacte en la piedra.

b)  Ángulo que forman las velocidades de piedra y proyectil al chocar.

 

 

Solución:

Datos: y’0 = 10 m; v0 = 100 m/s; x’0 = 7 m; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 31,1

Ecuaciones del movimiento del proyectil:

vx  = v0 cos α          vy = v0 sen α – g t

x  = v0 t cos α         y = v0 t sen α – (1/2) g t2

Ecuaciones del movimiento de la piedra:

Como el proyectil se mueve en dos dimensiones, también hay que dar las ecuaciones del movimiento de la piedra en dos dimensiones, (aunque una de las coordenadas sea constante).

v'x = 0                   v’y = –g t

x' = x’0                  y’ = y’0 – (1/2) g t2

a)  Cuando el proyectil y la piedra se encuentren, ambos estarán a la misma distancia del origen de coordenadas, por tanto: x = x’ e y = y’.

v0 t cos α = x’0

v0 t sen α – (1/2) g t2 = y’0 – (1/2) g t2 → v0 t sen α = y’0

t = y’0/v0 sen α

v0 (y’0/v0 sen α) cos α = x’0

(y’0/sen α) cos α = x’0

y'0/x’0 = sen α/cos α

y'0/x’0 = tg α

tg α = 10 m/7 m = 1,43

TIRO PARABOLICO 31,2

Se puede observar que el ángulo de tiro obtenido es igual al ángulo del triángulo mostrado. Entonces para hacer blanco habrá que apuntar a la piedra, sin importar que ésta después caiga verticalmente.

b) 

TIRO PARABOLICO 31,3

En el momento del choque la velocidad del proyectil forma un ángulo de 54,5º con la horizontal y como la velocidad de la piedra es vertical hacia abajo, el ángulo formado por ambas velocidades es: φ = 54,5º + 90º = 144,5º.

El anterior resultado también se puede obtener mediante el producto escalar de los vectores velocidad.

TIRO PARABOLICO 31,4

 

 

 


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