Archivo de septiembre de 2015

Tiro parabólico 21

 

Desde el suelo se lanza una piedra con velocidad 10 m/s formando 50º sobre la horizontal, pero resulta que sopla un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración de 5 m/s2. Determina:

a)  Posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical.

b)  Posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal.

c)  Alcance y velocidad de llegada al suelo.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 10 m/s; α = 50º; a = 5 m/s2; g = 9,8 m/s2

Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.

TIRO PARABOLICO 21,1

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α – a t             vy = v0 sen α – g t

x = v0 t cos α – (1/2) a t2             y = v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más arriba que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.

0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α

t = v0 sen α/g

x = v0 (v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (v0 sen α/g)2

x = (v02 sen α· cos α /g)– (a v02 sen2 α/2g2)

x = (v02 sen α/g)·[cos α – (a sen α/2g)]

y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2

y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)

y = v02 sen2 α/2g

TIRO PARABOLICO 21,2

La posición correspondiente al máximo desplazamiento vertical está en (3,5; 2,99) metros.

b)  La posición donde se invierte el movimiento marca el máximo desplazamiento horizontal, es decir, cuando se anula la velocidad horizontal.

0 = v0 cos α – a t → a t = v0 cos α

t = v0 cos α/a

x1 = v0 (v0 cos α/a) cos α – (1/2) a (v0 cos α/a)2

x1 = (v02 cos2 α/a) – (v02 cos2 α/2a)

x1 = v02 cos2 α/2a

y1 = v0 (v0 cos α/a) sen α – (1/2) g (v0 cos α/a)2

y1 = (v02 cos α· sen α/a) – (g v02 cos2 α/2a2)

y1 = (v02 cos α/a)·[sen α – (g cos α/2a)]

TIRO PARABOLICO 21,3

La posición correspondiente al máximo desplazamiento horizontal está en (4,13; 1,75) metros, más a la derecha y más abajo que la correspondiente al máximo desplazamiento vertical.

c)  El alcance se consigue en y = 0, por tanto:

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 → (1/2) g t2 – v0 t sen α = 0

t·[(1/2) g t – v0 sen α] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

(1/2) g t – v0 sen α = 0 → (1/2) g t = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g

x2 = v0 (2v0 sen α/g) cos α – (1/2) a (2v0 sen α/g)2

x2 = (2v02 sen α·cos α/g) – (2v02 a sen2 α/g2)

x2 = (2v02 sen α/g)·[cos α – (a sen α/g)]

TIRO PARABOLICO 21,4

Velocidad de llegada:

vx = v0 cos α – a (2v0 sen α/g) = v0 [cos α – (2a sen α/g)]

vy = v0 sen α – g (2v0 sen α/g) = –v0 sen α

TIRO PARABOLICO 21,5

TIRO PARABOLICO 14,4

TIRO PARABOLICO 21,7

Se puede observar que la piedra llega al suelo moviéndose hacia la izquierda y hacia abajo (α’ = 80º, tercer cuadrante)

 

 


Tiro parabólico 20

 

Un cañón, que está colocado en la ladera de un monte de inclinación j, dispara un proyectil con velocidad v0 en dirección perpendicular a la ladera. Determina el alcance del proyectil.

 

 

Solución:

        TIRO PARABOLICO 20

Ecuaciones del movimiento:

vx = –g t sen φ                 vy = v0 – g t cos φ

x = –(1/2) g t2 sen φ                   y = v0 t – (1/2) g t2 cos φ

Los ángulos j son iguales por tener sus lados perpendiculares.

El alcance se consigue cuando y = 0, por tanto:

0 = v0 t – (1/2) g t2 cos φ

(1/2) g t2 cos φ – v0 t = 0

t·[(1/2) g t cos φ – v0] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al instante del disparo.        

Segunda solución:

(1/2) g t cos φ – v0 = 0

t  = 2v0/g cos φ

x = –(1/2) g (2v0/g cos φ)2 sen φ =

= –(1/2) g (4v02/g2 cos2 φ) sen φ =

= –2v02 sen φ/g cos2 φ

El alcance es una distancia y por tanto debe darse sin signo, luego (el signo negativo indica el proyectil impacta al a izquierda del punto de partida):

L = 2v02 sen φ/g cos2 φ

 

 


Tiro parabólico 19

 

TIRO PARABOLICO 19,1

Un cañón, que está colocado al pie de una rampa de ángulo φ, dispara un proyectil con velocidad v0 formando ángulo α con la rampa. Determina a qué distancia del cañón chocará con la rampa (alcance)

 

 

Solución:

TIRO PARABOLICO 19,2

cos φ = x/L → L = x/cos φ

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos β           vy = v0 sen β – g t

x = v0 t cos β          y = v0 t sen β – (1/2) g t2

siendo:

β = α + φ     y        tg φ = y/x

tg φ = [v0 t sen β – (1/2) g t2]/v0 t cos β

v0 t cos β· tg φ = v0 t sen β – (1/2) g t2

(1/2) g t2 + v0 t cos β· tg φ – v0 t sen β = 0

(1/2) g t2 + v0 (cos β· tg φ – sen β) t = 0

t [(1/2) g t + v0 (cos β· tg φ – sen β)] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento del disparo.     

Segunda solución:

(1/2) g t + v0 (cos β· tg φ – sen β) = 0

(1/2) g t = –v0 (cos β· tg φ – sen β)

t = 2v0 (sen β – cos β·tg φ)/g

x = v0 [2v0 (sen β – cos β·tg φ)/g] cos β 

x = (2v02/g) (sen β – cos β·tg φ) cos β

L = [(2v02/g) (sen β – cos β·tg φ) cos β]/cos φ  

L = 2v02 (sen β – cos β·tg φ) cos β/g·cos φ

Ahora debemos tener en cuenta que:

sen β = sen (α + φ) = sen α·cos φ + sen φ·cos α

cos β = cos (α + φ) = cos α·cos φ – sen α·sen φ

luego:

TIRO PARABOLICO 19,3

Se puede comprobar que este resultado es correcto haciendo φ = 0, pues se obtiene la ecuación del alcance de un tiro parabólico cuando el suelo es horizontal.

Este problema también se puede hacer tomando los ejes de coordenadas, de forma que el eje X sea paralelo al plano:

TIRO PARABOLICO 19,4

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α – g t sen φ              vy = v0 sen α – g t cos φ

x = v0 t cos α – (1/2) g t2 sen φ             y = v0 t sen α – (1/2) g t2 cos φ

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cuando el proyectil choca con la rampa, y = 0, luego:

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 cos φ

(1/2) g t2 cos φ – v0 t sen α

t [(1/2) g t cos φ – v0 sen α] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento del disparo.     

Segunda solución:

(1/2) g t cos φ – v0 sen α = 0

(1/2) g t cos φ = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g cos φ

x = v0 (2v0 sen α/g cos φ) cos α – (1/2) g (2v0 sen α/g cos φ)2 sen φ =

= (2v02 sen α·cos α/g cos φ) – (2v02 sen2 α· sen φ/g cos2 φ) =

= (2v02 sen α·cos α/g cos φ) – (2v02 sen2 α· tg φ/g cos φ) =

= (2v02 sen α·cos α – 2v02 sen2 α· tg φ)/g cos φ =

= (2v02/g)·[(sen α·cos α – sen2 α· tg φ)/cos φ] =

= (2v02/g)·sen α·[(cos α – sen α· tg φ)/cos φ]

Ahora x es la distancia del punto de partida al punto de impacto.

 

 

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