El Sapo Sabio

Archivo de septiembre de 2015

 

Desde el suelo se lanza una piedra, con velocidad v₀ y ángulo α sobre la horizontal, cuando hay un fuerte viento en contra que comunica a la piedra una aceleración igual a g/2.
Sabiendo que tg α = 2, determina:

a)  Altura máxima que alcanza y velocidad en ese momento.

b)  Máximo desplazamiento horizontal.

c)  Dónde llegará al suelo y velocidad de llegada.

 

 

Solución:

Datos: v₀; α; a = g/2; tg α = 2

Como el viento sopla en contra del movimiento horizontal, llegará un momento en que la velocidad horizontal se anulará para invertirse a continuación.

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α – a t             v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α – (1/2) a t²             y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  El máximo desplazamiento vertical, o sea, lo más alto que llega, es decir, su altura máxima se consigue cuando su velocidad vertical es igual a cero.

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

y = v₀ (v₀ sen α/g) sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y = (v₀² sen² α/g) – (v₀² sen² α/2g)

y = (v₀² sen² α/2g)

Mediante la siguiente transformación trigonométrica se obtiene la altura máxima.

y = (v₀²/2g)·[tg² α/(tg² α + 1)]

y = (v₀²/2g)·[2²/(2² + 1)]

y = (v₀²/2g)·(4/5) = (2/5)·(v₀²/g) = 0,4·(v₀²/g)

v_x = v₀ cos α – a (v₀ sen α/g)

v_x = v₀ [cos α – (a sen α/g)]

v_x = v₀ cos α [1 – (a sen α/g cos α)]

v_x = v₀ cos α {1 – [(g/2) sen α/g cos α]}

v_x = v₀ cos α [1 – (1/2) tg α]

v_x = v₀ cos α [1 – (1/2)·2] = 0

Es chocante que al llegar a la altura máxima la piedra se detiene. Ni sube, ni avanza.

b)  El alcance se consigue en y = 0, por tanto:

v₀ t sen α – (1/2) g t² = 0   → t·[v₀ sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v₀ sen α – (1/2) g t = 0 → (1/2) g t = v₀ sen α

t = 2v₀ sen α/g

x₁ = v₀ (2v₀ sen α/g) cos α – (1/2) a (2v₀ sen α/g)² =

= (2v₀² sen α·cos α/g) –  (2v₀² a sen² α/g²) =

= (2v₀² sen α/g)·[cos α –  (a sen α/g)] =

= (2v₀² sen α/g)·cos α·[1 –  (a sen α/g cos α)] =

= (2v₀² sen α/g)·cos α·[1 –  (a/g)·tg α)] =

= (2v₀² sen α· cos α/g)·{1 – [(g/2)/g]·2} =

= (2v₀² sen α· cos α/g)·[1 – (1/2)·2] = 0

Velocidad de llegada:

v_x = v₀ cos α – a (2v₀ sen α/g) = v₀ cos α·[1 – (2a sen α/g cos α)] =

= v₀ cos α·[1 – (2a/g)·tg α] = v₀ cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} =

= v₀ cos α·{1 – [2·(g/2)/g]·2} = v₀ cos α·(1 – 2) = –v₀ cos α

v_y = v₀ sen α – g (2v₀ sen α/g) = –v₀ sen α

Llega al suelo en el mismo sitio desde donde salió y lo hace con una velocidad igual y opuesta.

Observación:

La aceleración resultante de las aceleraciones de la gravedad y del viento está alineada con la velocidad (En la figura tg β = 2, luego β = α). Entonces la piedra sólo tiene aceleración tangencial de frenado. Avanza en línea recta hasta detenerse y luego retrocede por el mismo camino volviendo a pasar por el punto de partida.

 

 

 

 

Una pelota resbala por un tejado que forma 30º sobre la horizontal, saliendo despedida a 10 m/s. La anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 20 metros y la altura del edificio es de 60 metros.

a)  ¿Llegará la pelota directamente al suelo o chocará con la pared opuesta?

b)  Determina la altura máxima del edificio para que la pelota no choque con la pared opuesta.

 

 

Solución:

Datos: α = 30º; v₀ = 10 m/s; x₁ = 20 m; y₁ = –60 m; g = 9,8 m/s² 

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = –v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = –v₀ t sen α – (1/2) g t²

Los ángulos α son iguales por tener sus lados paralelos.

a)  Para averiguar si la pelota llega al suelo o choca con la pared opuesta, utilizaremos la ecuación de la trayectoria.

x = v₀ t cos α → t = x/v₀ cos α

y = –v₀ (x/v₀ cos α )·sen α – (1/2) g (x/v₀ cos α)²

y = –(x/cos α )·sen α – (x² g/2v₀²)·(1/cos² α)

y = –x·tg α – (x² g/2v₀²)·(tg² α + 1)

Aplicando a x₁:

y = –x₁·tg α – (x₁² g/2v₀²)·(tg² α + 1)

 

Cuando la pelota recorre horizontalmente 20 metros (anchura de la calle), ha bajado 37,7 metros, es decir, no ha descendido los 60 metros que tiene de altura el edificio desde donde ha caído, luego sigue moviéndose tanto vertical como horizontalmente por lo que chocará con la pared opuesta.

También se puede resolver el problema estudiado el recorrido horizontal de la pelota.

y = –v₀ t sen α – (1/2) g t² → (1/2) g t² + v₀ sen α t + y = 0

 

La raíz negativa no sirve por que da un tiempo negativo, luego:

 

En su descenso la pelota recorre un espacio (26,2 m) mayor que la anchura de la calle (20 m), por tanto chocará con la pared opuesta.

b)  En el apartado anterior se ha visto que al caer 37,7 metros, la pelota avanza horizontalmente 20 metros, y choca con la pared opuesta, luego mientras la altura del edificio desde donde cae sea inferior a 37,7 metros, la pelota llegará directamente al suelo.

Por tanto la altura máxima del edificio para que la pelota no choque con la pared opuesta es de 37,7 metros.

 

 

 

Desde el suelo se dispara un proyectil con velocidad 100 m/s formando 45º sobre la horizontal. A 700 metros del punto de disparo hay un monte de 300 metros de alto, ¿chocará el proyectil con él? ¿Lo hará subiendo o bajando?

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 100 m/s; α = 45º; x₁ = 700 m; y₁ = 300 m; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

Ecuación de la trayectoria:

x = v₀ t cos α → t = x/v₀ cos α

y = v₀ (x/v₀ cos α)·sen α – (1/2) g (x/v₀ cos α)²

y = (x·sen α/cos α) – (x² g/2v₀²)·(1/cos² α)

y = x·tg α – (x² g/2v₀²)·(tg² α + 1)

Para x₁:

y = x₁·tg α – (x₁² g/2v₀²)·(tg² α + 1)

El proyectil choca con el monte.

Para saber si lo hace subiendo o bajando, calcularemos la velocidad del proyectil en ese momento.

v_y = v₀ sen α – g (x/v₀ cos α)

v_y,1 = v₀ sen α – g (x₁/v₀ cos α)

v_y,1 = (100 m/s)·sen 45º – (9,8 m/s²)·[700 m/(100 m/s)·cos 45º] = –26,3 m/s

El signo negativo nos indica que el proyectil, en el momento del choque, está bajando.