El Sapo Sabio

Archivo de agosto de 2015

 

Escribe las ecuaciones del tiro visto por el observador indicado.

Aplica las ecuaciones para determinar el alcance y la velocidad de llegada al suelo (Módulo, dirección).

Datos: v₀ = 10 m/s, α = 60º

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 10 m/s; α = 60º; x₀ = 10 m; y₀ = (25 m – 20 m) = 5 m; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ sen α           v_y = –v₀ cos α – g t

x = –x₀ + v₀ t sen α           y = –y₀ – v₀ t cos α – (1/2) g t²

El alcance se consigue cuando y = –25 m.

Tiempo que tarda en llegar al suelo.

(1/2) g t² + v₀ t cos α + y + y₀ = 0

Alcance:

x = –10 m + (10 m/s)·1,6 s·sen 60º = –3,9 m

Velocidad en el punto de impacto:

v_x = (10 m/s)·sen 60º = 8,7 m/s

v_y = (–10 m/s)·cos 60º – (9,8 m/s²)·1,6 s = –20,7 m/s

Módulo de la velocidad:

Dirección:

El ángulo positivo no es válido, ya que el sentido del arco es el de las agujas del reloj.

 

 

 

Desde el punto A se lanza un objeto con velocidad 20 m/s en la dirección indicada. Determina:

a)  Altura máxima que alcanza y desplazamiento horizontal hasta conseguirla.

b)  Dónde impactará el objeto con la pared vertical y su velocidad en ese momento.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 20 m/s; x₀ = 20 m; y₀ = –6 m; α = 60º

Ecuaciones del movimiento:

v_x = –v₀ cos α         v_y = v₀ sen α – g t

x = x₀ – v₀ t cos α             y = y₀ + v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  La altura máxima se consigue cuando v_y =0, por tanto:

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

y = y₀ + v₀ (v₀ sen α/g) sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y = y₀ + (v₀² sen² α/g) – (1/2) (v₀² sen² α/g)

y = y₀ + (1/2) (v₀² sen² α/g)

y = –6 m + [(1/2)·(20 m/s)²·sen² 60º/(9,8 m/s²)] = 9,3 m

Desplazamiento horizontal:

x = x₀ – v₀ (v₀ sen α/g) cos α

x = x₀ – (v₀² sen α· cos α/g)

x = 20 m – [(20 m/s)²· sen 60º· cos 60º/(9,8 m/s²)] = 2,3 m

b)  En el punto de impacto x = 0.

0 = x₀ – v₀ t cos α → v₀ t cos α = x₀

t = x₀/v₀ cos α

y = y₀ + v₀ (x₀/v₀ cos α) sen α – (1/2) g (x₀/v₀ cos α)²

y = y₀ + (x₀ sen α/cos α) – (1/2) g (x₀/v₀ cos α)²

y = –6 m + (20 m·sen 60º/cos 60º) – {(1/2)·(9,8 m/s²)·[20 m/(20 m/s)·cos 60º]²}

y = 9 m

El punto de impacto es (0, 9) m

Velocidad en el punto de impacto:

v_x = –(20 m/s)·cos 60º = –10 m/s

v_y = v₀ sen α – g (x₀/v₀ cos α)

v_y = (20 m/s)·sen 60º – [(9,8 m/s²)·20 m/(20 m/s)·cos 60º] = –2,3 m/s

Las dos componentes de la velocidad son negativas, lo que quiere decir que el objeto se mueve hacia la izquierda y está bajando.

Módulo de la velocidad:

Dirección:

tg α’ = v_y/v_x = (–2,3/–10) → α’ = 13º

 

 

 

Desde el punto A se lanza un objeto con velocidad 16 m/s. Escribe las ecuaciones del movimiento visto por un observador situado en O y úsalas para calcular dónde impactará el objeto.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 16 m/s; x₀ = 20 m; y₀ = –6 m; α = 60º; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = –v₀ cos α         v_y = v₀ sen α – g t

x = x₀ – v₀ t cos α             y = y₀ + v₀ t sen α – (1/2) g t²

Tiempo que el objeto tarda en recorrer 20 metros:

x = x₀ – v₀ t cos α → v₀ t cos α = x₀ – x

t = (x₀ – x)/ v₀·cos α

t = (20 m – 0)/(16 m/s)·cos 60º = 2,5 s

Veamos a qué altura se encuentra cuando el tiempo es 2,5 segundos:

y = –6 m + (16 m/s)·2,5 s·sen 60º – (1/2)·(9,8 m/s²)·(2,5 s)² = –2 m

El objeto choca en el punto (0, –2) m, es decir, a dos metros por debajo del observador (punto O).