Archivo de abril de 2015

Móviles al encuentro y en persecución 15

 

Dos buques navegan en direcciones paralelas y sentidos contrarios con velocidades de 10 m/s y 6 m/s respectivamente. Cuando la separación entre ellos es de 600 metros, en el buque más rápido se invierten los motores comunicándoles una aceleración de 0,2 m/s2 contraria al movimiento. Averigua dónde se cruzarán los barcos, interpretando el resultado y comprueba dimensionalmente el dicho resultado.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 10 m/s; a = 0,2 m/s2; x0 = 600 m; v’ = 6 m/s

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 13, 1

Ecuaciones del movimiento del primer buque:

v = –v0 + a t          x = x0 – v0 t + (1/2) a t2

Ecuación del movimiento del segundo buque:

x' = v’ t

Si los buques se cruzan x = x’, luego:

x0 – v0 t + (1/2) a t2 = v’ t

Despejando t de la ecuación del segundo barco y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene:

t = x’/v’ = x/v’

x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x/v’)2 = v’ (x/v’)

x = x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x2/v’2)

2v’2 x = 2v’2 x0 – 2v0 v’ x + a x2

a x2 – 2v0 v’ x – 2v’2 x + 2v’2 x0 = 0

a x2 – 2 (v0 + v’) v’ x + 2v’2 x0 = 0

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 15, 2

Dimensionalmente:

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 15, 4

 

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 15, 6

Los barcos se cruzan cuando se encuentran a 360 metros de la posición inicial del segundo barco, y se vuelven a encontrar a 600 metros  de dicha posición (donde  inicialmente se encontraba el barco más rápido), pues el primero, al invertir sus motores, después de un cierto tiempo se parará y luego iniciará el movimiento en sentido del segundo barco volviendo a alcanzarlo.

Tiempo y velocidad en los puntos de encuentro:

El segundo barco lleva un movimiento rectilíneo uniforme luego su velocidad es constante en todo momento, por lo tanto en el punto de encuentro su velocidad es  6 m/s.

La velocidad del primero en el momento del choque es:

t = x’/v’ = 360 m/(6 m/s) = 60 s

v = (–10 m/s) + (0,2 m/s2)·60 s = 2 m/s

Dimensionalmente:

[t] = L/(L T–1) = T

En el primer punto de encuentro ambos barcos ya navegan en el mismo sentido (el signo positivo de la velocidad del barco más veloz indica que ya se está moviendo hacia la derecha, o sea, en el sentido del segundo pero más lentamente).

 

 


Móviles al encuentro y en persecución 14

 

Un coche pasa por un semáforo verde con velocidad constante de 50 km/h. Un motorista arranca desde ese mismo semáforo 3 segundos después en la misma dirección y sentido que el coche y con una aceleración constante de 5 m/s2. Calcula:

a)  La distancia desde el semáforo a la que la motocicleta alcanza al coche.

b)  La velocidad de la motocicleta en el momento en que se encuentra.

 

 

Solución:

Datos: v1 = 14 m/s; v2,0 = 0; a2 = 5 m/s2.

Espacio recorrido por el coche durante los 3 s que tarda la motocicleta en arrancar:

x1,0 = v1·t1 = (14 m/s)·3 s = 42 m

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 14, 1

Ecuaciones de los movimientos:

Coche:

x1 = x1,0 + v1 t

Motocicleta:

v2 = v2,0 + a2 t                  x2 = v2,0 t + (1/2) a2 t2

El tiempo para ambos móviles es el mismo, porque en el espacio inicial del coche ya se tiene en cuenta los 3 segundos de adelanto que lleva moviéndose.

a)  En el punto de encuentro x1 = x2, luego:

x1,0 + v1 t = 0 + (1/2) a2 t2

(1/2) a2 t2 – v1 t – x1,0 = 0

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 14, 2

El resultado negativo no sirve, por tanto: t = 7,8 s.

x = 42 + (14 m/s)· 7,8 s = 151 m

b)

v2 = (5 m/s2)·7,8 s = 39 m/s

 

 


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Móviles al encuentro y en persecución 13

 

Un barco va navegando a 9 m/s cuando aparece otro a 1900 metros navegando a su encuentro a 5 m/s. El primer barco invierte los motores adquiriendo así una deceleración de 0,05 m/s2. ¿Chocarán? En caso afirmativo, ¿dónde ocurrirá y cuál será la velocidad de cada uno?

 

 

Solución:

Datos: v0 = 9 m/s; a = 0,05 m/s2; x0 = 1900 m; v’ = 5 m/s

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 13, 1

Ecuaciones del movimiento del primer barco:

v = –v0 + a t          x = x0 – v0 t + (1/2) a t2

Ecuación del movimiento del segundo barco:

x' = v’ t

Si los barcos chocan x = x’, luego:

x0 – v0 t + (1/2) a t2 = v’ t

Despejando t de la ecuación del segundo barco y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene:

t = x’/v’ = x/v’

x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x/v’)2 = v’ (x/v’)

x = x0 – v0 (x/v’) + (1/2) a (x2/v’2)

2v’2 x = 2v’2 x0 – 2v0 v’ x + a x2

a x2 – 2v0 v’ x – 2v’2 x + 2v’2 x0 = 0

a x2 – 2 (v0 + v’) v’ x + 2v’2 x0 = 0

MRUA MOVILES AL ENCUENTRO 13, 2

Los barcos chocan cuando se encuentran a 1155 metros de la posición inicial del segundo barco, pero si en vez de chocar se cruzaran volverían a encontrarse a 1645 m  de dicha posición, pues el primero, al invertir sus motores, después de un cierto tiempo se parará y luego iniciará el movimiento en sentido del segundo barco volviendo a alcanzarlo.

El segundo barco lleva un movimiento rectilíneo uniforme luego su velocidad es constante en todo momento, por lo tanto cuando choque su velocidad es  5 m/s.

La velocidad del primero en el momento del choque es:

t = x’/v’ = 1155 m/(5 m/s) = 231 s

v = (–9 m/s) + (0,05 m/s2)·231 s = 2,55 m/s

El signo positivo de la velocidad indica que ya se está moviendo hacia la derecha, o sea, en el sentido del segundo pero más lentamente, por eso es alcanzado por éste.

 

 

 


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