El Sapo Sabio

Archivo de abril de 2015

 

Halla:

a)  Tipo de movimiento en cada uno de los tramos.

b)  El espacio de cada uno de los tramos y el espacio total.

 

 

Solución:

a)  En el primer tramo la velocidad va aumentado conforme pasa el tiempo, luego es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

En el segundo tramo la velocidad no varia con respecto al tiempo, por tanto es un movimiento rectilíneo uniforme.

En el tercer tramo ocurre lo mismo que en el primer tramo, luego es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

En el último tramo conforme pasa el tiempo la velocidad va disminuyendo, por tanto es un movimiento rectilíneo uniformemente retardado.

b)  Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a (t – t₀)             x = v₀ (t – t₀) + a (t – t₀)

Para espacio recorrido primero hay que calcular la aceleración, para lo cual utilizaremos la ecuación de la velocidad:

a (t – t₀) = v – v₀ → a = (v – v₀)/(t – t₀)

Primer tramo:

a₁ = [(50 m/s) – 0]/(4 s – 0) = 12,5 m/s²

x₁ = 0 + (1/2)·(12,5 m/s²)·(4 s – 0)² = 100 m

Segundo tramo:

Como es un movimiento rectilíneo uniforme su aceleración es cero, luego:

x₂ = v (t – t₀) = (50 m/s)·(9 s – 4 s) = 250 m

Tercer tramo:

a₃ = [(200 m/s) – (50 m/s)]/(14 s – 9 s) = 30 m/s²

x₃ = (50 m/s)·(14 s – 9 s) + (1/2)·(30 m/s²)·(14 s – 9 s)² = 625 m

Cuarto tramo:

a₄ = [0 – (200 m/s)]/(20 s – 14 s) = –33,3 m/s²

x₄ = (200 m/s)·(20 s – 14 s) + (1/2)·(33,3 m/s²)·(20 s – 14 s)² = 601 m

Espacio total:

x = 100 m + 250 m + 625 m + 601 m = 1576 m

 

 

 

Dos móviles A y B situados a 2 km de distancia salen simultáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente acelerado, siendo la aceleración del más lento, el B, 32 cm/s². Los móviles deben encontrarse a 3,025 km del punto de partida del

Cuerpo B. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse? ¿Cuál es la aceleración de A y las velocidades de cada móvil en el momento del encuentro?

 

 

Solución:

Datos: x’₀ = 2000 m; a’ = 0,32 m/s²; x’ = (2000 + 3025) m = 5025 m

Ecuaciones de los movimientos:

Móvil A:

v = a t                   x = (1/2) a t²

Móvil B:

v' = a’ t                 x’ = x’₀ + (1/2) a’ t²

Para hallar el tiempo que tardarán en encontrarse los móviles, utilizaremos la última de las anteriores ecuaciones:

x’ = x’₀ + (1/2) a’ t² → x’ – x’₀ = (1/2) a’ t²

a’ t² = 2(x’ – x’₀) → t² = 2(x’ – x’₀)/a’

En el punto de encuentro se cumple que x = x’, por tanto la aceleración de A es:

Velocidades de los móviles en el punto de encuentro:

v = (0,53 m/s²)·137,5 s = 73 m/s

v’ = (0,32 m/s²)·137,5 s = 44 m/s

 

 

 

Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro situado 40 metros más atrás, sale a su persecución, recorriendo 90 metros con una aceleración de 5 m/s² y continuando luego con velocidad constante.

a)  Deduce cinemáticamente si el conejo se salvará.

b)  Razona matemáticamente que ocurrirá si la madriguera se encontrara 100 metros más lejos.

 

 

Solución:

Datos: v = 72 km/h; x₀ = 40 m; x₁ = 90 m; x₂ = (200 + 40) m = 240 m; a = 5 m/s²

a) Ecuación del conejo:

x₂ = x₀ + v t

Ecuaciones del perro:

Primera parte del recorrido:

v₁ = a t₁                 x₁ = (1/2) a t₁²

Segunda parte del recorrido:

x₃ = x₁ + v₁ t₂ = x₁ + a t₁ t₂

Veamos el espacio que recorre el perro en el tiempo que el conejo llega a la entrada de la madriguera, es decir cuando t = t₁ + t₂.

Tiempo que tarda el conejo en llegar a la madriguera:

t = (x₂ – x₀)/v

Tiempo que tarda el perro en la segunda parte del recorrido:

t₂ = (x₃ – x₁)/a t₁

(x₂ – x₀)/v = t₁ + [(x₃ – x₁)/a t₁]

[(x₂ – x₀)/v] a t₁ = t₁² a + x₃ – x₁

x₃ = [(x₂ – x₀)/v] a t₁ – t₁² a + x₁

De la ecuación del espacio de la primera parte del recorrido del perro tenemos que:

t₁² = 2x₁/a

Sustituyendo en la ecuación obtenida en la segunda parte del recorrido del perro, tenemos que:

Cuando el conejo llega a la madriguera, el perro ha recorrido 210 metros luego le faltan 30 metros para alcanzarle. Por tanto el conejo se escapa.

b)  Ahora, x₂ = 340 m, luego:

En este caso al perro le sobran 20 metros, luego si alcanza al conejo.