Archivo de enero de 2015

Móviles al encuentro y en persecución 09

 

Desde dos puntos A y B distantes 30 km, parten dos coches uno al encuentro del otro con velocidades respectivas de 60 m/s y 20 m/s. Calcula el punto en que se encuentran y la hora del encuentro si salieron  los dos a las 10 de la mañana.

 

 

Solución:

Datos: Distancia AB = x2,0 = 30 km; v1 = 60 m/s; v2 = 20 m/s

MOVILES AL ENCUENTRO 09, 1

Ecuación del movimiento del primer coche:

x1 = v1 t

Ecuación del movimiento del segundo coche:

x2 = x2,0 – v2 t

El tiempo para ambos coches es el mismo pues salen al mismo tiempo.

En el punto de encuentro x1 = x2, pues ambos vehículos están a la misma distancia del origen, luego:

v1 t = x2,0 – v2 t → v1 t + v2 t = x2,0 → (v1 + v2) t = x2,0

t = x2,0/(v1 + v2)

MOVILES AL ENCUENTRO 09, 2

Los coches se encuentran a las 10 horas 6 minutos y 15 segundos.

Posición de encuentro:

x1 = x2 = 60 (m/s)·375 s = 22500 m = 22,5 km

Los coches se encuentran a 22,5 km de A.

 

 


Móviles al encuentro y en persecución 08

 

Dos ciclistas van a marchar, en el mismo sentido, por una misma carretera en línea recta por con M.R.U, uno a 15 km/h y otro con 25 km/h.

a)  Cuál debe salir el primero para que lleguen a encontrarse.

b)  Si el segundo de los ciclistas sale del origen de los movimientos 3 horas después que el primero, ¿cuándo y a qué distancia del origen se encuentran los dos ciclistas? Haz las gráficas.

 

 

Solución:

Datos: v1 = 15 km/h; v2 = 25 km/h

a)  Para que ambos ciclistas se encuentren ha de salir antes el más lento, o sea, el que marcha a 15 km/h.

b)  Primero veamos la distancia que ha recorrido el primer ciclista durante las tres horas que ha salido antes, que será su espacio inicial.

x1,0 = 15 (km/h)·3 h = 45 km

MOVILES AL ENCUENTRO 08, 1

Ecuación del primer ciclista:

x1 = x1,0 + v1 t

Ecuación del segundo ciclista:

x2 = v2 t

El tiempo es el mismo para ambos ciclistas porque se empieza a cronometrar a partir del instante en que parte el segundo corredor, por eso el primero tiene espacio inicial.

En el punto de encuentro ambos ciclistas están a la misma distancia del punto de partida, es decir:

x1 = x2 → x1,0 + v1 t = v2 t → v2 t – v1 t = x1,0 → (v2 – v1) t = x1,0

t = x1,0/(v2 – v1)

MOVILES AL ENCUENTRO 08, 2

Los ciclistas se encuentran 4,5 horas después de haber salido el segundo.

Posición de encuentro:

x1 = x2 = 25 (km/h)·4,5 h = 112,5 km

Los ciclistas se encuentran a 112,5 km del punto de salida.

Tabla de valores:

MOVILES AL ENCUENTRO 08, 3

Como la gráfica de cada ciclista es una recta, con dos puntos tenemos suficiente para trazarlas.

MOVILES AL ENCUENTRO 08, 4

 

 

 

Móviles al encuentro y en persecución 07

 

Dos pueblos distan entre si 180 km. Simultáneamente salen de cada uno de ellos, y en sentido contrario, dos ciclistas con velocidades constantes de 20 km/h y 40 km/h. ¿En qué punto de la carretera se encontrarán y cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Resolver el problema gráfica y numéricamente.

 

 

Solución:

Datos: xAB = 180 km; vA = 20 km/h; vB = 40 km/h

MOVILES AL ENCUENTRO 07, 1

Ecuación del movimiento de A:

xA = vA t → xA = 20 t

Ecuación del movimiento de B:

xB = xAB – vB t → xB = 180 – 40 t

Como ambos coches salen simultáneamente, es decir a la vez, el tiempo que tardan en encontrarse es el mismo.        

Resolución gráfica:

Tabla de valores de A:

t (h) = 0 → xA (km) = 0

t (h) = 1 → xA (km) = 20

Como la gráfica es una recta, con dos puntos tenemos suficiente para representarla.

Tabla de valores de B:

t (h) = 0 → xB (km) = 180

t (h) = 1 → xB (km) = 140

Como en el caso anterior, la gráfica es una recta, luego con dos puntos tenemos suficiente para representarla.

Gráfica:

MOVILES AL ENCUENTRO 07, 2

Ambos ciclistas tardarán en encontrarse 3 horas y estarán a 60 km del origen (punto A).

Resolución numérica:        

Cuando ambos móviles se encuentren estarán a la misma distancia del origen, por tanto:

xA = xB → vA t = xAB – vB t

20 (km/h) t = 180 km – 40 (km/h) t

20 (km/h) t + 40 (km/h) t = 180 km

60 (km/h) t = 180 km

t = 180 km/(60 km/h) = 3 h

xA = 20 (km/h)·3 h = 60 km

Como era de esperar, los resultados son iguales que los encontrados gráficamente.

 

 


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