Archivo de enero de 2015

Móviles al encuentro y en persecución 12

 

Dos amigos viven en las ciudades, A y B, separadas 50 km. Han quedado en encontrarse en una gasolinera que está situada en la misma carretera que une a las dos poblaciones y a 30 km de A. Uno sale de A a la hora convenida y con una velocidad media de 90 km/h. El otro, sin embargo, sale 10 minutos más tarde de B. ¿Qué velocidad debe alcanzar para llegar al mismo tiempo que su amigo a la gasolinera?

 

 

Solución:

Datos: x2,0 = 50 km; x1 = 30 km; v1 = 90 km/h; t’ = 10 min

MOVILES AL ENCUENTRO 05, 1

Ecuación del movimiento de A:

x1 = v1 t1

Ecuación del movimiento de B:

x2 = x2,0 – v2 t2

Como, t2 = t1 – t’, entonces:

x2 = x2,0 – v2 (t1 – t’)

En el punto de encuentro, la gasolinera, ambos vehículos están a la misma distancia de A, es decir, del origen de coordenadas, por lo tanto x1 = x2, luego:

v1 t1 = x2,0 – v2 (t1 – t’)

 

v2 (t1 – t’) = x2,0 – v1 t1

 

v2 = (x2,0 – v1 t1)/ (t1 – t’)

De la ecuación de A, tenemos que:

t1 = x1/v1

Sustituyendo en la expresión de v2:

MOVILES AL ENCUENTRO 12

La velocidad que debe llevar B es de 120 km/h.

 

 


Móviles al encuentro y en persecución 11

 

Dos ciudades A y B están separadas 100 km. Desde A sale un tren hacia B con velocidad 50 km/h y otro tren sale desde B hacia A con velocidad 75 km/h. Determina cuándo y dónde se cruzarán.

 

 

Solución:

Datos: x’0 = 100 km; v = 50 km/h; v’ = 75 km/h

MOVILES AL ENCUENTRO 11, 1

Ecuaciones de los movimientos:

Tren que sale de A:

x = v t

Tren que sale de B:

x’ = x’0 – v’ t

En el punto de encuentro se cumple que x = x’, por tanto:

v t = x’0 – v’ t → v t + v’ t = x’0 → (v + v’) t = x’0

MOVILES AL ENCUENTRO 11, 2

Los trenes se encontrarán 0,8 horas (48 minutos) después de haber salido a 40 km de A.

 

 


Móviles al encuentro y en persecución 10

 

Dos automóviles circulan por un tramo recto de una autopista, con velocidades de 36 km/h y 108 km/h.

a)  Si ambos viajan en el mismo sentido y están separados 1 km, determinar el instante y la posición en que el coche que va más rápido alcanza al otro.

b)  Si se mueven en sentido opuesto, e inicialmente están separados 1 km, determinar el instante y la posición cuando se cruzan.

 

 

Solución:

Datos: v1 = 36 km/h; v2 = 108 km/h

a)  Dato: x1,0 = 1 km

1MOVILES EN PERSECUCION 10, 1

Ecuación del primer automóvil:

x1 = x1,0 + v1 t

Ecuación del segundo automóvil:

x2 = v2 t

En el punto de encuentro ambos automóviles se están a la misma distancia del origen, por tanto:

x1 = x2 → x1,0 + v1 t = v2 t → v2 t – v1 t = x1,0 → (v2 – v1) t = x1,0

t = x1,0/(v2 – v1)

MOVILES EN PERSECUCION 10, 2

MOVILES EN PERSECUCION 10, 3

El automóvil más veloz tarda 50 segundos en alcanzar al más lento y lo hará 1500 metros del punto de partida.

b)  Dato: x1,0 = 1 km 

MOVILES EN PERSECUCION 10, 4

Ecuación del primer automóvil:

x1 = x1,0 – v1 t

Ecuación del segundo automóvil:

x2 = v2 t

En el punto de encuentro ambos automóviles se están a la misma distancia del origen, por tanto:

x1 = x2 → x1,0 – v1 t = v2 t → v1 t + v2 t = x1,0 → (v1 + v2) t = x1,0

t = x1,0/(v1 + v2)

MOVILES EN PERSECUCION 10, 5

MOVILES EN PERSECUCION 10, 6

El tiempo que tardan ambos automóviles en encontrarse es de 25 segundos y el punto de encuentro es a 750 metros del punto de partida del más veloz.

 

 


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