El Sapo Sabio

Archivo de noviembre de 2014

 

Dados los vectores A = 3 i + 2 j + k y B = 2 i – 5 j + a k, calcula el valor de a para que:

a)  Sean perpendiculares.

b)  Sean paralelos.

 

 

Solución:

a)  Para que los vectores sean perpendiculares se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

 

A·B = 0

(3 i + 2 j + k)·( 2 i – 5 j + a k) = 0

6 – 10 + a = 0 → a = 4

 

b)  Para que los vectores sean paralelos sus coordenadas han de ser proporcionales, o sea:

 

3/2 = 2/(–5) = 1/a

 

Los rectores no pueden ser paralelos ya que 3/2 ≠ 2/(–5)

 

 

 

Calcula el área del triángulo cuyos dos lados concurrentes medidos en unidades S. I, son: u = 2 i + 3 j + k y v = 6 i + j – k.

 

 

Solución:

Datos: u = 2 i + 3 j + k; v = 6 i + j – k

 

El módulo del producto vectorial de los vectores u y v es el área (A) del paralelogramo que forman ambos vectores, es decir: A = |aₓb|, luego el área del triángulo será la mitad de A.

Producto vectorial:

Módulo del producto vectorial:

Área del triángulo:

 

 

 

Dado un vector a = (7, 3, –4) y otro |b| = 25 y cosenos directores proporcionales a (2, –2, 1). Halla:

a)  Componentes de b.

b)  a·b

c)  Ángulo que forman.

 

 

Solución:

Datos: a = (7, 3, –4); |b| = 25; (cos α)/2 = (cosb)/(–2) = (cosg)/1

 

a)  Componentes de b = (x, y, z)

cos α  = x/25; cos β = y/25; cos γ = z/25

 

 

(3/2) x = 25 → x = 50/3

 

b = (50/3, –50/3, 25/3)

b) 

 

a·b = (7, 3, –4)· (50/3, –50/3, 25/3) = (350/3) – (150/3) – (100/3) = 100/3

 

c)