Archivo de marzo de 2013

Conversión trabajo-calor 01

 

Una bala de 2 kg de masa, que lleva una velocidad 500 m/s, choca con un bloque de hielo que se encuentra a 0 ºC. Suponiendo que toda la energía se transforma en calor, calcula la masa de hielo que se funde.

Calor latente de fusión = 334,4 kJ/kg

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; t0 = 0 ºC; v = 500 m/s; LF = 334,4 kJ/kg

Aplicando en principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado por el hielo:

 

Qg = mh Lf

 

Calor perdido:

La energía cinética con la que llega la bala al bloque de hielo, debido al choque, se transforma en calor, el cual calienta y funde a dicho bloque (funciona como si fuera un calor perdido), luego:

 

Qp = ΔEc = (1/2) m v2

 

En el choque inelástico se pierde toda esta energía cinética, por tanto:

 

ΔEc = – (1/2) m v2 

 

Sustituyendo en la expresión del principio de la calorimetría:

 

mh Lf – (1/2) m v2 = 0

 

mh Lf = (1/2) m v2

 

mh = 0,5 m v2/Lf

 

 

 

Dimensionalmente:

 

 

 

 

 

Equilibrio térmico 14

 

En un calorímetro (equivalente en agua: 20 g) que contiene 200 g de hielo a –10 ºC, se introducen 40 g de vapor de agua a 100 ºC. Determina el estado de equilibrio.

Datos: Hielo: c = 0,5 cal/g ºC, Lf = 80 cal/g. Agua: Lv = 540 cal/g

 

 

Solución:

Datos:

Hielo: m1 = 200 g; t1 = –10 ºC

Vapor de agua: m2 = 40 g; t2 = 100 ºC

Calorímetro: m0 = 20 g

Como hay cambio de fase del agua, no se puede utilizar el equivalente en agua del calorímetro, hay que usar la capacidad calorífica:

 

C = m0 c = 20 g·1 (cal/g ºC) = 20 cal/ºC

 

Como no se conoce en qué estado se encuentra el equilibrio del sistema, así como a qué temperatura, primero se realizará un balance entre el calor ganado y el perdido.

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase con relación al hielo.

Calor ganado por el hielo para pasar de –10 ºC a 0 ºC, más el del absorbido por el calorímetro:

 

Qg = 200 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–10)] ºC + 20 (cal/ºC) )·[0 – (–10)] ºC = 1200

 

Calor perdido por el vapor agua al pasar de 100 ºC a agua 0 ºC: 

 

Qp = 40 g·(–540 cal/g) + 40 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 100) ºC = –25600 cal   

 

No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 200 gramos de hielo requiere ganar 16000 calorías (Q = m Lf = 200 g·80 cal/g = 16000 cal), que sumadas a las 1200 ya ganadas produce un total de 17200 calorías, todavía por debajo de las 25600 calorías perdidas.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC, se funde y el agua resultante aumenta su temperatura desde 0 ºC hasta t (temperatura de equilibrio).

El calorímetro sube su temperatura desde t1 hasta t.

El vapor de agua se condensa y el agua formada baja su temperatura desde t2 hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para que el calorímetro aumente su temperatura de t1 a t:

 

Q1 = C (t – t1)

 

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Q2 = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1

 

Calor necesario para fundir el hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q3 = m1 Lf 

 

Calor necesario para pasar el agua (procedente del hielo) a 0 ºC a t:

 

Q4 = m1 c2 (t – 0) = m1 c2 t

 

Calor total ganado:

 

Qg = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = C (t – t1) – m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el vapor de agua para condensarse convirtiéndose en agua a t2:

 

Q5 = m2 Lc

 

Calor desprendido por el agua (procedente del vapor) al pasar de t2 a t:

 

Q6 = m2 c2 (t – t2)

 

Calor total perdido por el vapor de agua:

 

Qp = Q5 + Q6 = m2 Lc + m2 c2 (t – t2)

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

C (t – t1) – m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 Lc + m2 c2 (t – t2) = 0

 

C t – C t1 – m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 Lc + m2 c2 t – m2 c2 t2 = 0

 

C t + m1 c2 t + m2 c2 t = C t1 + m1 c1 t1 – m1 Lf – m2 Lc + m2 c2 t2

 

(C + m1 c2 + m2 c2 ) t = C t1 + m1 (c1 t1 – Lf)  + m2 (c2 t2 – Lc)

 

 

 

 

 

 

Equilibrio térmico 13

 

Determina el estado de equilibrio cuando, en un calorímetro, se pongan:

a)  2 kg de agua a 50 ºC con 1 kg de hielo a –5 ºC.

b)  2 kg de agua a 30 ºC con 1 kg de hielo a –5 ºC.

c)  1 kg de agua a 20 ºC  con 10 kg de hielo a –30 ºC.

d)  1 kg de agua a 20 ºC con 6 kg de hielo a –30 ºC.

Datos: Hielo: c = 0,5 cal/g ºC; Lf = 80 cal/g

 

 

Solución:

a)  Datos: m1 = 1000 g; t1 = –5 ºC; m2 = 2000 g; t2 = 50 ºC

Como no se conoce en qué estado se encuentra el equilibrio del sistema, así como a qué temperatura, primero se realizará un balance entre el calor ganado y el perdido.

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –5 ºC  a 0 ºC: 

 

Qg = 1000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–5 ºC)] = 2500 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 50 ºC  a 0 ºC: 

 

Qp = 2000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 50) ºC = –100000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 1000 gramos de hielo requiere ganar 80000 calorías, que sumadas a las 2500 ya ganadas produce un total de 82500 calorías, todavía por debajo de las 100000 calorías perdidas.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC, se funde y el agua resultante aumenta su temperatura desde 0 ºC hasta t (temperatura de equilibrio).

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Q1 = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1

 

Calor necesario para fundir el hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q2 = m1 Lf 

 

Calor necesario para pasar el agua (procedente del hielo) a 0 ºC a t:

 

Q3 = m1 c2 (t – 0) = m1 c2 t

 

Calor total ganado:

 

Qg = Q1 + Q2 + Q3 = –m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t

 

Calor total perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a t:

 

Qp = m2 c2 (t – t2)

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

–m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 c2 (t – t2) = 0

 

–m1 c1 t1 + m1 Lf + m1 c2 t + m2 c2 t – m2 c2 t2 = 0

 

m1 c2 t + m2 c2 t = m1 c1 t1 – m1 Lf + m2 c2 t2

 

c2 t (m1 + m2) = m1 (c1 t1 – Lf)+ m2 c2 t2

 

t = [m1 (c1 t1 – Lf)+ m2 c2 t2]/c2 (m1 + m2)

 

Sustituyendo valores:

 

 

 

En el equilibrio habrá 3 kg de agua a 5,83 ºC.

b)  Datos: m1 = 1000 g; t1 = –5 ºC; m2 = 2000 g; t2 = 30 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –5 ºC a 0 ºC:

 

Qg = 1000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–5 ºC)] = 2500 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 30 ºC  a 0 ºC: 

 

Qp = 2000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 30) ºC = –60000 cal

 

 No hay equilibrio porque hay más calor perdido que ganado.

Para aumentar el calor ganado y disminuir el perdido, la temperatura de equilibrio deberá ser mayor de 0 ºC, luego tendrá que fundirse el hielo. La fusión de 1000 gramos de hielo requiere ganar 80000 calorías (Q = m Lf = 1000 g·80 (cal/g) = 80000 cal), que sumadas a las 2500 ya ganadas hacen un total de 82500 calorías, cantidad que supera a las 60000 perdidas. Por tanto, únicamente se fundirá una parte del hielo.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC, y parte del mismo (x) se funde.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Q1 = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1

 

Calor necesario para fundir parte de hielo a 0 ºC convirtiéndose en agua a 0 ºC:

 

Q2 = x Lf

 

Calor total ganado:

 

Qg = Q1 + Q2 = –m1 c1 t1 + x Lf

 

Calor total perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Qp = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2

 

Aplicando el principio de la Calorimetría:

 

–m1 c1 t1 + x Lf – m2 c2 t2 = 0

 

x Lf = m1 c1 t1 + m2 c2 t2

 

x = (m1 c1 t1 + m2 c2 t2)/Lf

 

 

 

En el equilibrio quedan 2719 gramos de agua y 281 gramos de hielo, a 0 ºC.

c)  Datos: m1 = 10000 g; t1 = –30 ºC; m2 = 1000 g; t2 = 20 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –30 ºC a 0 ºC: 

 

Qg = 10000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–30 ºC)] = 150000 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 50 ºC a 0 ºC:

 

Qp = 1000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 20) ºC) = –20000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor ganado que perdido.

Para aumentar el calor perdido y disminuir el ganado, la temperatura de equilibrio deberá ser menor de 0 ºC, luego tendrá que congelarse el agua. Al congelarse los 1000 gramos de agua se desprenden 80000 calorías, que sumadas a las 20000 ya perdidas produce un total de 100000 calorías, todavía por debajo de las 150000 calorías ganadas.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta t.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta 0 ºC, se congela y el hielo formado baja su temperatura desde 0 ºC hasta t.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor total ganado:

Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a t:

 

Qg = m1 c1 (t – t1) 

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Q1 = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2

 

Calor necesario para convertir el agua 0 ºC a hielo a 0 ªC:

 

Q2 = m2 Lf 

 

Calor necesario para pasar el hielo (procedente del agua) a 0 ºC a t:

 

Q3 = m2 c1 (t – 0) = m2 c1 t

 

Calor total perdido:

 

Qp = Q1 + Q2 + Q3 = –m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t

 

Aplicando el principio de la Calorimetría:

 

m1 c1 (t – t1) – m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t = 0

 

m1 c1 t – m1 c1 t1 – m2 c2 t2 + m2 Lf + m2 c1 t = 0

 

m1 c1 t + m2 c1 t = m1 c1 t1 + m2 c2 t2 – m2 Lf

 

(m1 + m2) c1 t = m1 c1 t1 + m2 (c2 t2 – Lf)

 

t = [m1 c1 t1 + m2 (c2 t2 – Lf)]/ (m1 + m2) c1

 

 

 

En el equilibrio habrá 11 kg de hielo a –9,09 ºC.

d)  Datos: m1 = 6000 g; t1 = –30 ºC; m2 = 1000 g; t2 = 20 ºC

Supongamos que la temperatura de equilibrio fuera 0 ºC, sin que hubiera cambios de fase.

Calor ganado por el hielo para pasar de –30 ºC a 0 ºC: 

 

Qg = 6000 g·0,5 (cal/g ºC)·[0 – (–30 ºC)] = 90000 cal

 

Calor perdido por el agua al pasar de 20 ºC a 0 ºC:

 

  Qp = 1000 g·1 (cal/g ºC)·(0 – 20) ºC = –20000 cal

 

No hay equilibrio porque hay más calor ganado que perdido.

Para aumentar el calor perdido y disminuir el ganado, la temperatura de equilibrio deberá ser menor de 0 ºC, luego tendrá que congelarse el agua. Al congelarse 1000 gramos de agua se desprenden 80000 calorías ( Q = m Ls = 1000 g·80 (cal/g) = 80000 cal), que sumadas a las 20000 ya perdidas produce un total de 100000 calorías, cantidad que supera a las 90000 ganadas. Por tanto, únicamente se congelará una parte del agua.

El hielo aumenta su temperatura de t1 hasta 0 ºC.

El agua caliente baja su temperatura desde t2 hasta 0 ºC, y parte de ella (x) se congela.

Calor intercambiado:

 

 

 

Principio de la calorimetría:

 

Qg + Qp = 0

 

Calor total ganado:

 Calor necesario para pasar de hielo a t1 a hielo a 0 ºC:

 

Qg = m1 c1 (0 – t1) = –m1 c1 t1  

 

Calor perdido:

Calor desprendido por el agua al pasar de t2 a 0 ºC:

 

Q1 = m2 c2 (0 – t2) = –m2 c2 t2  

 

Calor necesario para convertir agua a 0 ºC a hielo a 0 ºC:

 

Q2 = x Ls

 

Calor total perdido:

 

Qp = –m2 c2 t2 + x Ls

 

Aplicando el principio de la calorimetría:

 

–m1 c1 t1 – m2 c2 t2 + x Ls = 0

 

x Ls = m1 c1 t1 + m2 c2 t2

 

x = (m1 c1 t1 + m2 c2 t2)/Ls

 

 

 

En el equilibrio quedan 125 gramos de agua y 6875 gramos de hielo, a 0 ºC.

 

 

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